Колебания в резонансном контуре

Электромагнитные колебания в контуре - одна из сложных тем ЕГЭ. Энергия переходит из одной формы в другую и концентрируется то в конденсаторе, то в катушке. Период колебаний энергии - вдвое меньше, чем  период колебаний в контуре (энергия колеблется с двойной частотой).

Задача 1.

Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и двух одинаковых конденсаторов, включенных параллельно. Период собственных колебаний в контуре $T_1 = 20$ мкс. Чему будет равен период $T_2$‚ если конденсаторы включить последовательно?

Емкость цепи равна $C+C=2C$, так как конденсаторы включены параллельно. Тогда период колебаний:
$$T_1=2\pi \sqrt{2LC}$$
Теперь, если мы включим конденсаторы последовательно, то емкость будет равна

$$C_1=\frac{C^2}{2C}=\frac{C}{2}$$

Тогда

$$T_2=2\pi \sqrt{\frac{LC}{2}}$$

То есть подкоренное выражение стало меньше в 4 раза, а значит, период стал меньше вдвое.

Ответ: $T_2=10$ мкс.

Задача 2.

В колебательном контуре емкость конденсатора $C = 10$ мкФ, индуктивность катушки $L=0,1$ Гн, амплитуда напряжения на конденсаторе $U_m = 4$ В. В некоторый момент времени напряжение на конденсаторе $U = 1$ В. Найдите энергию магнитного поля $W_m$ в этот момент.
Амплитуда напряжения позволяет найти полную энергию:

$$W=\frac{CU_m^2}{2}=\frac{10^{-5}\cdot16}{2}=8\cdot10^{-5}$$

Так как напряжение на конденсаторе в некоторый момент времени равно 1 В, то в этот момент его энергия равна

$$ W_t=\frac{CU^2}{2}=\frac{10^{-5}\cdot1}{2}=0,5\cdot10^{-5}$$
Следовательно, энергия магнитного поля равна

$$W_m=W-W_t=(8-0,5) \cdot10^{-5}$$

Ответ: $W_m=75$ мкДж

Задача 3.

Чему равен период свободных электрических колебаний в контуре, если максимальный заряд конденсатора $q_0 = 10^{-6}$ Кл, а максимальная сила тока в контуре $I_0 = 2\cdot10^{-3}$ А?

Полная энергия поля равна

$$W=\frac{CU_m^2}{2}=\frac{q_0^2}{2C}=\frac{LI_0^2}{2}$$

Откуда

$$CL=\frac{q_0^2}{I_0^2}$$

Тогда период равен

$$T=2\pi\sqrt{LC}=2\pi \frac{q_0}{I_0}=\pi\cdot10^{-3}$$

Ответ: $T=\pi\cdot10^{-3}$ c.

Задача 4.

Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью $C= 400$ пФ и катушки индуктивности $L= 10$ мГн (см. рис.). Какова амплитуда колебаний силы тока $I_m$, если амплитуда колебаний напряжения $U_m = 600$ В?

Определим угловую частоту:

$$\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}=500000$$

Ток может быть найден по формуле:

$$I_m=\frac{U_m}{\omega L}=\frac{600}{500000\cdot10\cdot10^{-3}}=0,12$$

Ответ: 0,12 А

Задача 5.

Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 1 мкФ и катушки индуктивности 4 Гн. Амплитуда колебаний заряда конденсатора 100 мкКл. Напишите уравнение зависимости напряжения на конденсаторе от времени $U(t)$.

Общий вид зависимости напряжения от  времени

$$U(t)=U_m \sin (\omega t+\psi_0)$$

То есть нужно определить угловую частоту и амплитуду напряжения.

$$\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}=500$$

Полная энергия поля равна

$$W=\frac{CU_m^2}{2}=\frac{q_0^2}{2C}=\frac{LI_0^2}{2}$$

Откуда

$$CL=\frac{q_0^2}{I_0^2}$$

$$I_0=\frac{q_0}{\sqrt{CL}}=q_0 \omega=10^{-4}\cdot500=0,05$$

Тогда

$$U_m=I_m \omega L=0,05\cdot500\cdot4=100$$

Записываем зависимость напряжения от времени:

$$u=100\sin 500t$$

Задача 6.

Два конденсатора $C_1 = 2$ мкФ, $C_2= 8$ мкФ и катушка индуктивности $L = 1,6$ Гн соединены по схеме (см. рис.). В начальный момент ключ в цепи конденсаторов разомкнут, конденсатор $C_2$ не заряжен, ток в катушке отсутствует, хотя конденсатор $C_1$ заряжен до напряжения $U = 20$ В. Какова амплитуда силы тока в катушке при установившихся колебаниях после замыкания ключа?

На конденсаторе $C_1$ накоплен заряд, которым он «поделится» с конденсатором $C_2$. «Дележ» произойдет так, что

$$q_1=q_1’+q_2’$$

Но напряжение на конденсаторах одно и то же:

$$U=\frac{q_1’}{C_1}=\frac{q_2’}{C_2}$$

$$q_2’=C_2\frac{q_1’}{C_1}$$

Тогда

$$C_1U=q_1’(1+\frac{C_2}{C_1})$$

Откуда:

$$q_1’=\frac{UC_1^2}{C_1+C_2}=\frac{20\cdot4\cdot10^{-12}}{10^{-5}}=8\cdot10^{-6}$$

$$q_2’=\frac{UC_1C_2}{C_1+C_2}=\frac{20\cdot4\cdot4\cdot10^{-12}}{10^{-5}}=32\cdot10^{-6}$$

То есть $q_1=q_1’+q_2’=4\cdot 10^{-5}$.

Определяем ток:

$$I_0=\frac{q_1}{\sqrt{CL}}$$

Емкость двух конденсаторов, соединенных параллельно, равна $C_1+C_2=10$ мкФ.

$$I_0=\frac{4\cdot10^{-5}}{\sqrt{10^{-5}\cdot1,6}}=10^{-2}$$

Ответ: 0,01 А.

Задача 7.

По условию предыдущей задачи определите период изменения энергии магнитного поля катушки. Он вдвое меньше периода колебаний.

$$\frac{T}{2}=\pi \sqrt{LC}=\pi \sqrt{1,6\cdot10^{-5}}=4\pi\cdot10^{-3}=12,56\cdot10^{-3}$$

Ответ: $T_m=12,56\cdot10^{-3}$ c

Задача 8.

Конденсатор емкостъю 1 мкФ зарядили до максимапьного заряда 4 мкКл и замкнули на катушку с индуктивностью 0,12 Гн. Пренебрегая активным сопротивлением соединительных проводов контура, определите, каким будет мгновенное значение тока в контуре в тот момент, когда энергия контура будет распределена между электическим и магнитным полем в соотношении $\frac{W_m}{W_e}=3$.

Определим амплитуду напряжения:

$$U_m=\frac{q}{C}=4$$

Полная энергия поля равна

$$W=\frac{CU_m^2}{2}=\frac{10^{-6}\cdot16}{2}=8\cdot10^{-6}$$

Откуда

$$W_m+W_e=W$$

$$W_m+\frac{W_m}{3}=W$$

$$W_m=8\cdot10^{-6}\cdot\frac{3}{4}=6\cdot10^{-6}$$

$$W_e=2\cdot10^{-6}$$

$$I=\sqrt{\frac{ 2W}{L}}=10^{-2}$$

Ответ: 0,01 А