Задача о кольце с перемычками

Задача. Тонкое проволочное кольцо радиусом $a=30$ см расположено в однородном магнитном поле с индукцией $B=1$ Тл. Силовые линии поля направлены перпендикулярно плоскости рисунка. По кольцу в противоположных направлениях скользят с угловыми скоростями $\omega_1=\omega_0=50$ рад/с и $\omega_2=3\omega_0$ две перемычки. Перемычки и кольцо сделаны из одного куска проволоки, сопротивление единицы длины которого равно  $\rho=59$ Ом/м. Определить величину тока через перемычки, когда угол $\varphi=90^{\circ}$. Между кольцом и перемычками, а также в центре кольца между перемычками хороший электрический контакт. Ответ выразите в мА, округлив до целых.

Рисунок к задаче

Решение. Наблюдаем движение проводника в магнитном поле, а в этом случае на его концах будет наводиться ЭДС. Рассчитаем ее. Скорость конца первой перемычки

$$\upsilon_1=\omega_1 a$$

Скорость конца второй перемычки –

$$\upsilon_2=\omega_2 a$$

Но, так как перемычки, подобно стрелкам часов, имеют неподвижный конец (в центре), то нас будет интересовать не скорость конца перемычки, а скорость ее середины. Она является средней скоростью, которую мы и будем использовать в расчетах.

$$\upsilon_{1sr}=\frac{\upsilon_1}{2}=\frac{\omega_1 a }{2}$$

$$\upsilon_{2sr}=\frac{\upsilon_2}{2}=\frac{\omega_2 a }{2}$$

Тогда ЭДС, наводимая в первой перемычке (синус прямого угла между вектором скорости и вектором магнитной индукции равен 1),

$$\varepsilon_1=B \upsilon_{1sr} a=\frac{B\omega_1 a^2 }{2}=\frac{B\omega_0 a^2 }{2}$$

ЭДС, наводимая во второй

$$\varepsilon_2=B \upsilon_{2sr} a=\frac{B\omega_2 a^2 }{2}=\frac{3B\omega_0 a^2 }{2}$$

Определяем сопротивления перемычек. Обозначим их $r$ (они равны):

$$ r=\rho a $$

Определяем сопротивления частей кольца (большая часть - $R_1$, меньшая - $R_2$), см. рисунок

Обозначаем сопротивления частей кольца

Длина кольца - $2\pi a$, длина большей части - $\frac{3}{4}\cdot 2\pi a$, меньшей - $\frac{1}{4}\cdot 2\pi a$. Сопротивления частей кольца равны:

$$R_1=\rho \cdot \frac{3}{4}\cdot 2\pi a=\frac{3\rho \pi a}{2}$$

$$R_2=\rho \cdot \frac{1}{4}\cdot 2\pi a=\frac{\rho \pi a}{2}$$

Определив по правилу левой направление ЭДС, убеждаемся, что электрическая схема кольца с перемычками выглядит так:

Электрическая схема кольца с перемычками

Общее сопротивление схемы

$$R_0=2r+\frac{R_1R_1}{R_1+R_2}=2\rho a+\frac{\frac{3\rho \pi a}{2}\cdot \frac{\rho \pi a}{2}}{\frac{4\rho \pi a}{2}}=\frac{19 }{8}\rho \pi a$$

Тогда ток в неразветвленной части цепи

$$I=\frac{\varepsilon_1+\varepsilon_2}{R_0}=\frac{\frac{B\omega_0 a^2 }{2}+\frac{3B\omega_0 a^2 }{2}}{\frac{19 }{8}\rho \pi a }=\frac{16B\omega_0 a}{19 \pi rho}=\frac{16\cdot 1\cdot 50\cdot 0,3}{19 \cdot \pi\cdot 59}=0,068$$

Через меньшее сопротивление $R_2$ потечет $0,75I$, через большее $R_1$ - $0,25I$.

Ответ: через перемычки течет ток 68 мА, через меньшую часть кольца – ток 51 мА, через большую – 17 мА.