Сила, действующая на палочку

Задача.

Равномерно заряженная положительным зарядом $q$ палочка движется так, что ее нижний конец скользит по горизонтальной опоре с постоянной скоростью $\upsilon$, верхний скользит по вертикальной стенке. Палочка находится в однородном магнитном поле с индукцией $B$, направленной горизонтально. С какой силой поле действует на палочку в тот момент, когда угол между ней и опорой равен $\alpha$?

Решение. Разобьем палочку на элементы. На каждый будет действовать сила Лоренца

$$\Delta F_i=\Delta q_i\upsilon_i B$$

Силы $\Delta F_i$ лежат в плоскости рисунка, перпендикулярной $B$, но имеют разные направления, так как $\upsilon_i$ направлены по-разному. Скорость элемента $\upsilon_i$ складывается из двух скоростей: так как расстояние между основанием палочки, скользящим по полу, и выбранным элементом, неизменное, то элемент участвует в движении по окружности относительно нижнего конца палочки, и имеет еще горизонтальную составляющую скорости:

$$\vec{\upsilon_i}=\vec{\upsilon}+\vec{\upsilon_{i_vr}}$$

Тогда

$$\Delta F_i=\Delta q_i B (\vec{\upsilon}+\vec{\upsilon_{i_vr}}) $$

$$\Delta F_i=\Delta q_i B\vec{\upsilon}+\Delta q_i B \vec{\upsilon_{i_vr}} $$

Разобьем как

$$\Delta F=\Delta q_i B\upsilon$$

$$\Delta F_{i_vr}=\Delta q_i B\upsilon_{i_vr}$$

Суммируем силы:

$$F=\sum\limits_i \Delta F=\sum\limits_i \Delta q_i B\upsilon=q\upsilon B$$

Эта составляющая силы направлена перпендикулярно скорости $\upsilon$, то есть вертикально.

Так как часть скорости, ответственная за вращение ($\vec{\upsilon_{i_vr}}$) направлена перпендикулярно палочке, то сила, связанная с этой составляющей, направлена вдоль палочки.

$$ F_{i_vr}=\sum\limits_i \Delta q_i B\upsilon_{i_vr}$$

Скорость верхнего конца в СО, связанной с нижним концом,

$$\upsilon_v=\frac{\upsilon}{ \sin\alpha}$$

Скорость элемента, находящегося на расстоянии $x$ от нижней точки,

$$\upsilon_{i_vr}=\frac{\upsilon}{\sin\alpha}\cdot \frac{x}{l}$$

Заряд элементарного элемента длиной $x_i$

$$\Delta q_i=\frac{q\Delta x_i}{l}$$

Тогда

$$ F_{i_vr}=\frac{q\upsilon B}{l^2\sin\alpha}\sum\limits_i x_i\Delta x_i$$

Такая сумма, как мы знаем из статей  «Метод телескопирования» равна

$$\sum_i x_i\Delta x_i=\frac{l^2}{2}$$

Подставляем

$$ F_{i_vr}=\frac{q\upsilon B}{l^2\sin\alpha}\cdot \frac{l^2}{2}=\frac{ q\upsilon B }{2\sin \alpha}$$

Сила Лоренца будет суммой двух сил, найденных нами ранее

$$\vec{F_L}=\vec{F}+\vec{ F_{i_vr}}$$

Сложить такие неперпендикулярные силы можно по теореме косинусов:

$$F_L=\sqrt{F^2+ F_{i_vr}^2-2F F_{i_vr}\sin\alpha}$$

$$ F_L=\sqrt{(q\upsilon B)^2+\frac{(q\upsilon B)^2}{4\sin^2\alpha}-\frac{2(q\upsilon B)^2}{2\sin\alpha}\cdot\sin \alpha}$$

$$ F_L=\sqrt{\frac{(q\upsilon B)^2}{4\sin^2\alpha}}=\frac{ q\upsilon B }{2\sin\alpha }$$

Ответ: $F_L=\frac{ q\upsilon B }{2\sin\alpha }$