Магнитное поле: сложное движение рамки

В этой статье мы рассмотрим перемещающиеся в магнитном поле по сложной траектории  рамки.  Статья является восьмой в серии «Магнитное поле». Конспект занятий Пенкина М.А.

Задача. В магнитном поле $B(y)=B_0(1+\alpha y), \alpha, B_0-const$ находится квадратная рамка со стороной $a$ массой $m$ и сопротивлением $R$. Рамку сначала удерживают, а затем сообщают ей горизонтальную скорость $\upsilon_0$. Некоторое время спустя скорость рамки устанавливается. Найти эту постоянную скорость.

Рисунок

Сила Лоренца при движении зарядов в поле направлена перпендикулярно скорости. В данном случае, как видно из рисунка, сила Лоренца направлена не вдоль проводников рамки.  Так как скорость имеет две составляющие, по оси $x$ и по оси $y$, то и сила Лоренца будет также иметь две составляющие. Составляющая силы Лоренца  по оси $y$ не двигает заряды вдоль проводника. «Рабочей лошадкой» будет составляющая силы по оси $x$, обусловленная $y$-ковой составляющей скорости.
$$B(y+a)=B_0(1+\alpha(y+a))$$

$$ B(y+a)- B(y)= B_0(1+\alpha(y+a))- B_0(1+\alpha y)=B_0\alpha a$$

Две силы Лоренца, возникающие в вертикальных проводниках рамки, индуцируют равные по модулю встречные ЭДС, которые компенсируют друг друга (на рисунке зачеркнуты).

В горизонтальных проводниках наведутся ЭДС:

$$E_i(y)=B(y)\upsilon_y l\sin{\alpha}=B(y) \upsilon_y a$$

$$E_i(y+a)=B(y+a)\upsilon_y l\sin{\alpha}=B(y+a) \upsilon_y a$$

Очевидно, вторая из них больше. Так как эти ЭДС направлены встречно, вторая, будучи большей по модулю, «победит» и определит направление тока в рамке.

$$I=\frac{ E_i(y+a)- E_i(y)}{R}=\frac{ B(y+a) \upsilon_y a - B(y) \upsilon_y a }{R}$$

$$I=\frac{B_0\alpha a^2\upsilon_y}{R}$$

По оси $x$ рамка движется с постоянной скоростью, по этой оси на рамку силы не действуют. По оси $y$ будут действовать силы Ампера. Запишем второй закон Ньютона для рамки:

$$\vec{F}_A(y+a)+ \vec{F}_A(y)+\vec{mg}=0$$

$$\upsilon_x=\upsilon_0=const$$

Второй закон в проекциях на ось $y$:

$$F_A(y+a)=F_A(y)+mg$$

$$B(y+a)Ia=B(y)Ia+mg$$

$$B_0\alpha a\cdot Ia=mg$$

$$I=\frac{mg}{B_0\alpha a^2}$$

Приравняем полученные токи:

$$\frac{B_0\alpha a^2\upsilon_y}{R}= I=\frac{mg}{B_0\alpha a^2}$$

$$\upsilon_y=\frac{mgR}{B_0^2\alpha^2 a^4}$$

Скорость рамки

$$\upsilon=\sqrt{\upsilon_x^2+\upsilon_y^2}=\sqrt{\frac{m^2g^2R^2}{B_0^4\alpha^4 a^8}+\upsilon_0^2}$$

«Читерский» подход – через энергии. Мощность тепловых потерь в рамке равна мощности силы тяжести:

$$mg\upsilon_y=I^2R$$

$$ mg\upsilon_y=\frac{m^2g^2}{B_0^2\alpha^2 a^4}R$$

$$ \upsilon_y=\frac{mgR}{B_0^2\alpha^2 a^4}$$

Далее определяем скорость так же.

Ответ: $\upsilon=\sqrt{\frac{m^2g^2R^2}{B_0^4\alpha^4 a^8}+\upsilon_0^2}$