Два поля

Задача 1.

Частица массой $m=8\cdot 10^{-10}$ кг с отрицательным зарядом $\mid q \mid=2\cdot 10^{-8}$ Кл влетает с начальной скоростью $\upsilon =20$ м/с в область пространства 1 шириной $d=20$ см, в которой создано однородное магнитное поле с индукцией $B=2$ Тл. Начальная скорость частицы направлена перпендикулярно границе области 1. После вылета из области 1 частица попадает в непосредственно граничащую с ней протяжённую область 2, в которой создано однородное электростатическое поле напряжённостью $E=20$ В/м. Направления линий магнитного и электрического полей в областях 1 и 2 показаны на рисунке. На каком расстоянии от точки $M$ попадания в область 1 частица вылетит из неё, двигаясь в противоположном направлении, пройдя области обоих полей?

Решение. Движение частицы в магнитном поле при скорости, перпендикулярной индукции, будет происходить по окружности. Пусть радиус окружности $R$. Запишем для нее второй закон Ньютона:

$$F_L=ma_n$$

$$Bq\upsilon=\frac{m\upsilon^2}{R}$$

$$R=\frac{m\upsilon}{Bq}=\frac{8\cdot 10^{-10}\cdot 20}{2\cdot2\cdot 10^{-8}}=0,4$$

Радиус окружности получился вдвое больше ширины области, в которой создано магнитное поле. Из рисунка видно, что угол $\alpha=30^{\circ}$ при таком радиусе. Значит, вектор скорости направлен под углом $\beta=60^{\circ}$ к горизонту.

Определим смещение частицы в магнитном поле - расстояние по горизонтали от точки входа в магнитное поле до точки выхода из него.

$$x=R-R\cos \alpha$$

Затем частица попадет в поле электрическое. Это поле будет ее тормозить (электрическая сила направлена вниз):

$$ma=qE$$

$$a=\frac{qE}{m}$$

Вертикальная составляющая скорости частицы - $\upsilon \sin \beta$. Для верхней точки траектории, где вертикальной составляющей скорости у частицы нет, справедливо

$$0=\upsilon \sin \beta-at=\upsilon \sin \beta-\frac{qE}{m}t$$

$$t=\frac{\upsilon m \sin \beta }{qE}$$

Такое время частица будет двигаться в сторону удаления от границы раздела полей. Затем еще такое же время – обратно, до точки входа в магнитное поле. Тогда по горизонтали она сместится на

$$\upsilon\cos\beta\cdot 2t=\upsilon\cos\beta\cdot \frac{2\upsilon m \sin \beta }{qE}=\frac{\upsilon^2\sin 2\beta \cdot m}{qE}$$

Полное смещение частицы

$$L=2x+\frac{\upsilon^2\sin 2\beta \cdot m}{qE}= 2R-2R\cos \alpha+\frac{\upsilon^2\sin 2\beta \cdot m}{qE}$$

$$L= 2\cdot 0,4-2\cdot 0,4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{20^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 8\cdot 10^{-10}}{2\cdot 10^{-8}\cdot 20}=0,8$$

 Ответ: частица выйдет в 0,8 м от точки входа в область полей.

Задача 2.

Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией $B$. В точке $A$ он имеет скорость $\upsilon$,вектор которой составляет с вектором магнитной индукции угол $\alpha$. При какой величине магнитной индукции $B$ электрон попадет при своем движении в точку  $C$, находящуюся на одной силовой линии с точкой $A$ Расстояние $AC=L$, модуль заряда электрона $e$его масса $m$.

Решение. Электрон имеет две составляющие скорости – одну, параллельную индукции, и другую, перпендикулярную, $\upsilon\sin\alpha$. Поэтому двигаться будет по спиральной траектории – винтовой линии. Для движения в магнитном поле запишем второй закон Ньютона:

$$\frac{m\upsilon^2\sin^2\alpha}{R}=e B\upsilon \sin\alpha$$

$$\frac{m\upsilon\sin\alpha}{R}=e B$$

Откуда

$$R=\frac{ m\upsilon\sin\alpha }{eB}$$

Период движения можно записать как

$$T=\frac{2\pi R}{\upsilon\sin\alpha }=\frac{2\pi}{\upsilon\sin\alpha }\cdot\frac{ m\upsilon\sin\alpha }{eB}=\frac{2\pi m}{eB}$$

За это время электрон продвигается на расстояние $T\upsilon \cos \alpha$ по горизонтали. Таких расстояний он может пройти одно, два, три – любое целое число, и оказаться таким образом в точке $C$. То есть

$$ T\upsilon \cos \alpha\cdot n=L$$

$$\frac{2\pi m}{eB}\cdot\upsilon \cos \alpha\cdot n=L$$

Наконец, получаем индукцию:

$$B=\frac{2\pi m \upsilon \cos \alpha\cdot n }{eL},\ \ \ \  n \in N$$

Ответ: $B=\frac{2\pi m \upsilon \cos \alpha\cdot n }{eL},\ \ \ \ n \in N$