Частицы и рамки в магнитном поле - несколько задач

Задача 1.

Определить частоту обращения электрона в магнитном поле, индукция которого $B=0,2$ Тл. Ответ дать в ГГц, округлив до десятых.

Решение. Запишем второй закон Ньютона:

$$B q \upsilon=\frac{m \upsilon^2}{R}$$

Или

$$B q =\frac{m \upsilon}{R}$$

Период обращения:

$$T=\frac{2\pi R}{\upsilon}$$

Частота –

$$\nu=\frac{\upsilon}{2\pi R}=\frac{Bq}{2\pi m}=\frac{0,2\cdot 1,6\cdot 10^{-19}}{2\pi\cdot 9,1\cdot 10^{-31}}=5,6\cdot 10^9$$

Ответ: 5,6 ГГц.

Задача 2.

Протон влетает в область действия однородного магнитного поля с индукцией $B=0,1$ Тл, где движется по дуге окружности радиусом $R=4$ см. Затем протон попадает в однородное электрическое поле так, что движется против направления силовой линии. Какую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы его скорость изменилась в 2 раза? Ответ округлить до целых.

Решение. Запишем второй закон Ньютона для протона в магнитном поле

$$B q \upsilon=\frac{m \upsilon^2}{R}$$

Или

$$B q =\frac{m \upsilon}{R}$$

$$\upsilon=\frac{B q R}{m}$$

Если скорость изменилась вдвое – то конечная скорость равна

$$\upsilon_k=\frac{B q R}{2m}$$

Теперь запишем «формулу без времени»

$$\upsilon_k^2-\upsilon^2=-2aS=-2\cdot\frac{F}{m}\cdot S=-\frac{2qES}{m}=-\frac{2qUS}{mS}=-\frac{2qU}{m}$$

$$U=\frac{m(\upsilon^2-\upsilon_k^2)}{2q}=\frac{3B^2q^2R^2}{4m^2}\cdot\frac{m}{2q}=\frac{3B^2qR^2}{8m}=\frac{3\cdot 0,01\cdot 1,6\cdot10^{-19}\cdot 16\cdot 10^{-4}}{8\cdot1,7\cdot 10^{-27}}=564,7$$

Ответ: 565 В.

Задача 3.

Плоская квадратная рамка находится в однородном магнитном поле с индукцией 0,8 Тл. Сопротивление рамки равно 0,5 Ом. Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости рамки. Рамку повернули на $45^{\circ}$, при этом по рамке прошел заряд 4 мКл. Определить длину стороны рамки. Ответ округлить до десятых.

Решение. При повороте рамки поток через нее изменится. Определим, как

$$\Delta \Phi=\Phi_2-\Phi_2=BS\cos 45^{\circ}-BS=BS(\cos 45^{\circ}-1)$$

Определим ЭДС:

$$E=-\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}=\frac{ BS(1-\cos 45^{\circ})}{\Delta t }$$

Ток в рамке:

$$I=\frac{E}{R}=\frac{q}{\Delta t}$$

$$\frac{ BS(1-\cos 45^{\circ})}{R\Delta t }=\frac{q}{\Delta t}$$

$$S=a^2=\frac{qR}{B(1-\cos 45^{\circ})}=\frac{4\cdot10^{-3}\cdot 0,5}{0,8\cdot0,29}=0,0085$$

$$a=0,092$$

Ответ: $a=0,1$ м.