Магнитное поле: суммарный момент сил Ампера

В этой статье мы рассмотрим рамку, поворачивающуюся вокруг своей оси в магнитном поле.  Статья является девятой в серии «Магнитное поле». Конспект занятий Пенкина М.А.

Задача. На гладкой непроводящей поверхности стола лежит проводящая жесткая тонкая рамка из однородного куска проволоки в виде равностороннего треугольника со стороной $a$.Рамка находится в однородном поле с индукцией $B$. Линии поля лежат в плоскости рамки. Масса рамки $M$. Какой ток нужно пропустить по контуру рамки, чтобы рамка начала приподниматься относительно точки $E$?

Центр масс равностороннего треугольника расположен в точке пересечения медиан $C$. Если рамка начнет приподниматься, то плечо силы тяжести будет равно $EC$.

$$EC=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{\sqrt{3}}$$

Поднимать рамку будет сила Ампера. Пусть ток в рамке течет против часовой. Тогда по правилу левой руки сила Ампера, действующая на сторону рамки $AB$, будет направлена вверх (на нас из плоскости рисунка). Но силы Ампера, возникающие в двух сторонах, направлены от нас (вниз).

Составим уравнение моментов относительно точки $E$ -  так плечо силы реакции опоры будет равно 0, и она не войдет в уравнение. Чтобы рамка приподнималась, момент силы тяжести должен быть меньше момента сил Ампера. Чтобы определить момент силы Ампера, воспользуемся формулой

$$M=BIS\sin{\alpha}$$

Здесь $\alpha$ - угол между нормалью к плоскости рамки и линиями индукции.

Уравнение моментов:

$$mg\cdot EC\leqslant BIS\sin{\alpha}$$

$$mg\cdot \frac{a}{\sqrt{3}}\leqslant BIS\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

$$  \frac{mg }{3}\leqslant \frac{BIa}{4}$$

$$I \geqslant \frac{4mg}{3Ba}$$

Ответ: $I \geqslant \frac{4mg}{3Ba}$.