Момент, действующий на рамку в магнитном поле

Задача 1.

Максимальный вращающий момент, действующий на рамку площадью $S = 1$ см$^2$, находящуюся в магнитном поле, $M = 2$ мкН$\cdot$м. Сила тока в рамке $I = 0,5$ А. Найти индукцию магнитного поля.

Решение. Момент создает пара сил, действующих на те стороны рамки, которые перпендикулярны вектору индукции. При этом момент максимален, если вектор индукции лежит в плоскости рамки – при этом сила Ампера перпендикулярна плоскости рамки, то есть ее плечо совпадает с одной из сторон рамки. Пусть ось вращения рамки проходит посередине. Плечо возникающей силы Ампера указано на рисунке и равно $d$.

Рисунок, подходит ко всем задачам

Тогда момент силы ампера равен

$$M=F_A d=BIld=BI\frac{S}{2}$$

Но не будем забывать, что сил Ампера две (пара сил), поэтому

$$M_{max}=2\cdot BI\frac{S}{2}=BIS$$

Откуда

$$B=\frac{ M_{max}}{IS}=\frac{2\cdot 10^{-6}}{0,5\cdot 10^{-4}}=0,04$$

Ответ: $B=0,04$ Тл.

Задача 2.

Рамка площадью $S = 400$ см$^2$ помещена в однородное магнитное поле с индукцией $B= 0,1$ Тл так, что нормаль к рамке перпендикулярна линиям индукции. При какой силе тока на рамку будет действовать вращающий момент $M = 20$ мН$\cdot$м?

Решение. Аналогично предыдущей задаче,

$$M_{max}=2\cdot BI\frac{S}{2}=BIS$$

Откуда

$$I=\frac{ M_{max}}{BS}=\frac{20\cdot 10^{-3}}{0,1\cdot 400\cdot 10^{-4}}=5$$

Ответ: $I=5$ А.

Задача 3.

Плоская прямоугольная катушка из $N = 200$ витков со сторонами $a = 10$ см и $b = 5$ см находится в однородном магнитном поле с индукцией $B = 0,05$ Тл. Какой максимальный вращающий момент может действовать на катушку в этом поле, если сила тока в катушке $I=2$ А?

Теперь витков не один, а целых 200. То есть сила Ампера будет действовать на все 200 проводников, и формула изменится следующим образом:

$$M_{max}=2\cdot BI\frac{S}{2}\cdot N=NBIS=200\cdot 0,05\cdot 2\cdot 0,1\cdot 0,05=0,1$$

Ответ: 0,1 Н$\cdot $м.

Задача 4.

Рамка площадью $S = 200$ см$^2$ помещена в однородное магнитное поле, индукция которого $B = 0,1$ Тл, так, что нормаль к рамке составляет угол $\alpha = 30^{\circ}$ с вектором магнитной индукции. Сила тока в рамке $I = 10$ А. Найти вращающий момент, действующий на рамку.

Решение. Нас интересует составляющая магнитного поля, лежащая в плоскости рамки, а она равна $B\sin \alpha$. Остальное решение аналогично предыдущим задачам:

$$M_{max}=BIS\sin \alpha=0,1\cdot 10\cdot 200\cdot 10^{-4}\cdot \frac{1}{2}=10^{-2}$$

Ответ: 0,01 Н$\cdot $м.