Магнитное поле – подготовка к олимпиадам 5

Задачи, связанные с наведением ЭДС индукции меняющимся потоком в контуре.

Задача 1.

Медное кольцо радиусом $r$ соединено проводящими спицами с центром (рисунок). К центру и кольцу подключен резистор сопротивлением $R$. На кольцо намотана нить с грузом массой $m$. Кольцо вращается без трения вокруг оси, проходящее через его центр и находится в однородном магнитном поле индукции $B$, направленной параллельно его оси. Найти установившуюся скорость опускания груза.

К задаче 1

Решение. Спицы двигаются в магнитном поле. В них возникает сила Лоренца, действующая на заряды. Поэтому подпихиваемые ею заряды приходят в движение и возникает ток. То есть каждый из стержней-спиц подобен батарейке.

Если груз двигается с постоянной скоростью $\upsilon$, то точки кольца имеют эту же скорость. Значит, концы спиц двигаются со скоростью $\upsilon$. Но центры спиц неподвижны. Поэтому средняя скорость точек спицы равна $\frac{\upsilon}{2}$. Поэтому ЭДС, наводимая на концах спиц, равна

$$\varepsilon=B r\cdot\frac{\upsilon}{2}$$

Эта ЭДС порождает ток через каждую спицу

$$I=\frac{B\upsilon r}{2R}$$

И, значит, на каждую спицу действует сила Ампера:

$$F_A=B\cdot \frac{B\upsilon r}{2R}\cdot r$$

Момент, создаваемый силами Ампера, должен быть равен моменту силы тяжести:

$$mgr=4F_A\cdot \frac{r}{2}=\frac{2B^2 r^2\upsilon}{R}\cdot\frac{r}{2}$$

$$mg=\frac{B^2 r^2\upsilon}{R}$$

Откуда

$$\upsilon=\frac{mgR}{B^2 r^2}$$

Ответ: $\upsilon=\frac{mgR}{B^2 r^2}$

Задача 2.

На гладкой горизонтальной поверхности расположено тонкое проволочное кольцо радиуса $r$. Кольцо находится во внешнем однородном магнитном поле с индукцией $B_0$, направленной перпендикулярно плоскости кольца. Индукция внешнего магнитного поля стала уменьшаться со временем $t$ по закону $B(t) = B_0 - At$ где $A$ -константа.

1) Найти ток в кольце.

2) Чему равна максимальная сила натяжения проволоки кольца, обусловленная взаимодействием тока в кольце и внешнего магнитного поля? Сопротивление проволоки кольца равно $R$. Самоиндукцией кольца пренебречь.

Решение. Ток в кольце – следствие возникновения ЭДС. Определим ее модуль:

$$\varepsilon=\frac{d\Phi}{dt}=\frac{SdB}{dt}=SA=\pi r^2A$$

$$I=\frac{\varepsilon }{R}=\frac{\pi r^2 A }{R}$$

Выделим малый кусочек кольца длиной $\Delta l$ и расставим действующие на него силы:

К задаче 2

$$F_A=BI\Delta l=2T\cos \alpha$$

$$ F_A=\frac{\pi r^2 A}{R}\cdot B\Delta l$$

$$\cos \alpha=\frac{\frac{\Delta l}{2}}{r}$$

$$ F_A=\frac{\pi r^2 A}{R}\cdot B\Delta l=T\frac{\Delta l}{r}$$

Отсюда

$$\frac{\pi r^2 A}{R}\cdot B=T\frac{1}{r}$$

С учетом, что максимальная индукция равна $B_0$, имеем:

$$T=\frac{\pi r^3 A B_0}{R}$$

Ответ: $I=\frac{\pi r^2 A }{R}$; $T=\frac{\pi r^3 A B_0}{R}$.

Задача 3.

На гладкой горизонтальной поверхности стола расположена проволочная прямоугольная рамка массой $m$, со сторонами $a$ и $b$ (рисунок). Рамка находится в магнитном поле, составляющая вектора индукции которого вдоль оси $z$ зависит только от координаты $x$ по закону $B_z = B_0(1-\alpha x)$, где $B_0$ и $\alpha$ - заданные константы. Рамке сообщают вдоль оси $x$ скорость $\upsilon_0$. Когда рамка, двигаясь поступательно, проходит расстояние $L$, ее скорость уменьшается в 3 раза. Пренебрегая самоиндукцией рамки, найдите ее омическое сопротивление.

К задаче 3

Решение. С увеличением координаты рамки (центра рамки) поле «редеет» - ослабляется. Ток возникает в рамке, чтобы его восстановить.

$$F_{A1}>F_{A2}$$

Так как справа поле «гуще». Из-за этой разности сил рамка тормозит.

Силы Ампера на стороны рамки

$$ F_{A1}-F_{A2}=Ia(B(x)-B(x+b))=IaB_0(1-\alpha x-(1-\alpha(x+b))=IaB_0(-\alpha x+\alpha x+\alpha b)=IaB_0\alpha b$$

Ток, возникающий в рамке,

$$I=\frac{\varepsilon}{R}=\frac{\Phi’}{R}$$

Поток – переменный:

Поток - переменный

$$\Phi=\frac{B(x)+B(x+b)}{2}\cdot ab=\frac{B_0 ab}{2}(1-\alpha x+1-\alpha(x+b))=B_0ab\left(1-\alpha x-\frac{\alpha b}{2}\right)$$

$$\Phi’=-B_0ab\alpha x’=-B_0 ab \alpha \upsilon$$

$$\Delta F=-\frac{B_0^2a^2b^2\alpha^2}{R}\upsilon=ma$$

Обозначим $\beta^2= B_0^2a^2b^2\alpha^2$,

$$-\frac{\beta^2}{R}\upsilon=ma_x=\frac{m\Delta \upsilon_x}{\Delta t}$$

Домножаем на $\Delta t$:

$$-\frac{\beta^2}{R}\upsilon\Delta t= m\Delta \upsilon_x$$

Суммируем:

$$-\frac{\beta^2}{R} L=m\left(\frac{\upsilon_0}{3}-\upsilon_0\right)$$

$$R=\frac{3\beta^2 L}{2m\upsilon_0}=\frac{3B_0^2a^2b^2\alpha^2 L}{2m\upsilon_0}$$

Ответ: $R=\frac{3B_0^2a^2b^2\alpha^2 L}{2m\upsilon_0}$.