Магнитное поле – подготовка к олимпиадам 4

Задачи, связанные с наведением ЭДС индукции меняющимся потоком в контуре.

Задача 1.

Из одного куска проволоки спаяна плоская фигура (рисунок), состоящая из трёх квадратов со стороной $a$. В один из отрезков проволоки впаян небольшой по размерам конденсатор ёмкости $C$. Конструкция находится в однородном магнитном поле $B$, которое перпендикулярно плоскости фигуры и увеличивается с постоянной скоростью $\frac{dB}{dt} =k > 0$. Сопротивление куска проволоки длины $a$ равно $r$. Для установившегося режима определите:

1. силу и направление тока в отрезке $AB$;
2. заряд на конденсаторе $Q$ и знак зарядов на обкладках;
3. количество теплоты $W$, выделяющееся в цепи за время $\tau$.

Решение. Так как в один из отрезков впаян конденсатор, а постоянный ток через него не протекает, то рассмотрим правый квадрат отдельно, а левый и центральный – вместе. Для правого

$$\varepsilon_i=ka^2$$

По второму закону Кирхгофа для «двойного» контура – левого:

$$2k a^2=5Ir+I_3r$$

Для правого:

$$ka^2=3I_2 r-I_3 r$$

По первому закону Кирхгофа

$$I_2+I_3=I$$

Тогда

$$ka^2=3Ir-4I_3r$$

$$2ka^2=5Ir+I_3r$$

Умножаем последнее уравнение на 4 и складываем с предыдущим:

$$9ka^2=23Ir$$

$$I=\frac{9}{23}\cdot\frac{ka^2}{r}$$

Это ответ на первый вопрос.

Разбираем второй:

$$ka^2=3Ir+\frac{q}{C}$$

$$q=C(ka^2-3Ir)=-C\cdot \frac{4}{23}ka^2$$

Минус появился потому, что предположили при обходе контура на верхней обкладке $+$, а вышло наоборот.

И ответ на третий вопрос:

$$W=(5I^2r+3I_2^2r+I_3^2r)\tau$$

$$I_3=\frac{1}{23}\cdot \frac{ka^2}{r}$$

$$I_2=\frac{8}{23}\cdot \frac{ka^2}{r}$$

$$W=\frac{598}{529}\frac{k^2a^4}{r}\tau$$

Ответ: $I=\frac{9}{23}\cdot\frac{ka^2}{r}$, $q=-C\cdot \frac{4}{23}ka^2$, минус на верхней обкладке, $W=\frac{598}{529}\frac{k^2a^4}{r}\tau$.

Задача 2.

Внутри проволочного кольца имеется несимметрично расположенный сердечник, в котором магнитное поле изменяется по гармоническому закону $\Phi = \Phi_0\cos \omega t$. Сопротивление кольца равно $R$, амперметра  - $r$. Точки $B$ и $C$ делят кольцо на два участка, сопротивления которых равны $\frac{2}{3}R$ и $\frac{1}{3}R$. Найдите показания амперметров в первом и втором случаях (см. рисунок).

Решение. Обозначим токи, текущие в различных ветвях. По первому закону

$$I_1=I_2+I$$

Рассматриваем внешний контур, содержащий амперметр и пронизанный потоком:

$$\varepsilon=Ir+I_1\cdot\frac{R}{3}$$

А теперь для контура, не пронизанного потоком и тоже содержащего амперметр:

$$0=Ir-I_2\cdot \frac{2}{3}R$$

Определим наводимую ЭДС:

$$\varepsilon=\Phi_0\omega \sin \omega t$$

Выражаем токи:

$$I_1=\frac{(\varepsilon -Ir)\cdot 3}{R}$$

$$I_2=\frac{Ir\cdot 3}{2R}$$

Подставляем их в первый закон Кирхгофа:

$$\frac{3\varepsilon }{R}-\frac{3Ir}{R}=\frac{3Ir}{2R}+I$$

$$\frac{3\varepsilon }{R}=\frac{9Ir}{2R}+I$$

$$\frac{3\varepsilon }{R}=\frac{9r+2R}{2R}\cdot I$$

Откуда

$$I=\frac{6\varepsilon }{9r+2R}=\frac{6\Phi_0\omega \sin \omega t }{9r+2R}$$

Это в случае 1. Теперь рассмотрим второй:

Так же запишем первый закон Кирхгофа:

$$I+I_1=I_2$$

Уравнение по второму закону для внешнего контура:

$$Ir+I_2\cdot \frac{2}{3}R=\varepsilon$$

Из него выведем $I$:

$$I=\frac{\varepsilon - I_2\cdot \frac{2}{3}R }{r}$$

Уравнение по второму закону для кольца:

$$ I_2\cdot \frac{2}{3}R+I_1\cdot \frac{R}{3}=\varepsilon$$

Из него следует:

$$ I_1\cdot \frac{R}{3}=\varepsilon- I_2\cdot \frac{2}{3}R$$

И

$$I_1=\frac{3\varepsilon }{R}-2I_2$$

Подставляем в первый закон полученные токи:

$$\frac{ \varepsilon }{r}-\frac{2RI_2}{3r}+\frac{3\varepsilon }{R}-2I_2=I_2$$

$$\frac{ \varepsilon }{r}+\frac{3\varepsilon }{R}=I_2\left(3+\frac{2R}{3r}\right)$$

$$\varepsilon\left(\frac{1}{r}+\frac{3}{R}\right)=I_2\frac{9r+2R}{3r}$$

$$I_2=\frac{3\varepsilon (R+3r)}{(2R+9r)R}$$

Тогда вернемся к уравнению по второму закону:

$$Ir+I_2\cdot \frac{2}{3}R=\varepsilon$$

$$Ir=\varepsilon-\frac{3\varepsilon (R+3r)}{(2R+9r)R}\cdot \frac{2}{3}R=\varepsilon -\frac{2\varepsilon (R+3r)}{2R+9r}$$

$$Ir=\frac{\varepsilon (2R+9r) -2\varepsilon (R+3r)}{2R+9r}$$

$$Ir=\frac{3\varepsilon r}{2R+9r}$$

$$I=\frac{3\varepsilon }{2R+9r}=\frac{3\Phi_0\omega \sin \omega t }{9r+2R}$$

Ответ: в первом случае $I=\frac{6\Phi_0\omega \sin \omega t }{9r+2R}$, во втором $I=\frac{3\Phi_0\omega \sin \omega t }{9r+2R}$.

Задача 3.

Проволочное полукольцо радиуса $r = 10$ см находится в однородном магнитном поле с индукцией $B = 0,1$ Тл. Вектор $B$ перпендикулярен плоскости полукольца. Центр полукольца соединен с ним двумя проводниками (рисунок), один из которых $AO$ - неподвижный, другой - $OC$ - поворачивают вокруг точки $O$ с угловой скоростью $\omega = 10$ рад/с. Сопротивление единицы длины всех проводников $\rho = 0,65$ Ом/м. Найти ток в контуре $AOC$ в момент, когда угол $\varphi$ между $AO$ и $OC$ равен $\pi$.

Решение.

Площадь, заметаемая перемычкой, которая движется, соответствует углу, на который эта перемычка повернулась. Пусть она повернулась на угол $\alpha$. Тогда, если углу $2\pi$ радиан соответствует площадь круга, то углу $\alpha$ - площадь, равная

$$S=\frac{\alpha \cdot \pi r^2}{2\pi}$$

Так как $\alpha=\omega t$,

$$S=\frac{\omega r^2 t}{2}$$

$$\varepsilon_i=-\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$$

$$\varepsilon_i=-\frac{B\Delta S}{\Delta t}$$

$$\varepsilon_i=-\frac{B\omega r^2}{2}$$

Сопротивление проводников, по которым течет ток, определяется их длиной:

$$l=2r+\pi r$$

Тогда ток:

$$I=\frac{\varepsilon_i }{R_0}=\frac{ B\omega r^2}{2\rho r(2+\pi)}= \frac{ B\omega r}{2\rho (2+\pi)}= \frac{ 0,1\cdot 10\cdot 0,1}{2\cdot 0,65 (2+\pi)}=0,015$$

Ответ: 15 мА.