Две задачи про кольцо

В обеих задачах, похожих одна на другую, кольцо растягивает сила Ампера. Нужно определить, с какой силой кольцо сопротивляется и механическое напряжение в нем.

Задача 1.

В тонком проводнике в виде кольца радиусом $R = 20$ см сила тока $I = 100$ А. Перпендикулярно плоскости кольца создано однородное магнитное поле с индукцией $B = 2\cdot 10^{-2}$ Тл. Чему равна сила, растягивающая кольцо?

К задаче 1

Разделим наш проводник на малые кусочки $dl$. Длина кусочка проводника

$$\frac{dl}{2}=R\sin{\frac{\alpha}{2}}$$

Так как угол мал, заменим синус на сам угол:

$$\frac{dl}{2}=R\frac{\alpha}{2}$$

$$dl=R\alpha$$

На выделенный элемент действует сила Ампера, ей противодействуют две силы, направленные в противоположных направлениях, $F_1$ и $F_2$, причем уравновешивают силу Ампера проекции этих сил $F_1\sin{\frac{\alpha}{2}}$ и $F_2\sin{\frac{\alpha}{2}}$.

Сила Ампера, действующая на проводник, равна

$$F=IB dl=IB R\alpha =2 F_1\sin{\frac{\alpha}{2}}$$

Снова заменим синус на сам угол, сократим и получим:

$$F_1=IBR=100\cdot 2\cdot 10^{-2} \cdot 0,2=0,4$$

Ответ: $F=0,4$ Н.

Задача 2.

В жестком проволочном кольце диаметром $d = 10$ см сила тока $I = 5$ А. Плоскость кольца перпендикулярна магнитному полю, индукция которого $B = 2$ Тл. Определить механическое напряжение в проволоке, создаваемое магнитным полем. Площадь поперечного сечения $S = 5$ мм$^2$.

По аналогии с предыдущей задачей, силу определим как

$$F=IBR$$

Тогда механическое напряжение равно

$$\sigma=\frac{F}{S}=\frac{IBd}{2S}=\frac{5\cdot2\cdot0,1}{2\cdot5\cdot10^{-6}}=10^5$$

Ответ: $\sigma=10^5$ Па.