Решение задач с помощью магнитного момента

Интересный способ решения задач с помощью моментов. Нужно знать, что такое векторное произведение, уметь находить его направление, уметь применять правило буравчика, чтобы найти, в какую сторону найденный нами момент будет стремиться повернуть рамку.

Задача 1.

Рамка массой $m$ представляет собой равносторонний треугольник со стороной $a$. Какой ток должен протекать в рамке против часовой стрелки, чтобы рамка начала поворачиваться около одной из вершин?

К задаче 1

Решение. Пусть поворот рамки происходит относительно точки $A$. Использовать будем метод магнитного момента. Механический момент равен току, умноженному на векторное произведение $\left[\vec{S}\vec{B}\right]$. Тогда магнитный момент

$$M_{magn}=I\left[\vec{S}\vec{B}\right]$$

Вспомним, как определяют направление векторного произведения (это же вектор) – векторы $\vec{S}, \vec{B}$ и $\vec{M}_{magn}$ должны образовывать правую тройку. Поэтому вектор  магнитного момента направлен влево:

Направление магнитного момента

А вектор момента силы тяжести – вправо, потому что сила тяжести поворачивает рамку относительно точки $A$ вниз. Напомню, направление момента определяется по правилу буравчика.

Направление момента силы тяжести

Условие начала поднятия рамки – равенство моментов.

$$ M_{magn}= M_{t}$$

$$ M_{magn}= ISB=I\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot B$$

$$M_t=mg\cdot \frac{2}{3}h= mg\cdot\frac{a\sqrt{3}}{3}$$

Приравниваем моменты:

$$I\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot B= mg\cdot\frac{a\sqrt{3}}{3}$$

$$\frac{IaB}{4}=\frac{mg}{3}$$

$$I=\frac{4}{3}\cdot\frac{mg}{aB}$$

Ответ: $I=\frac{4}{3}\cdot\frac{mg}{aB}$.

Задача 2.

На наклонной плоскости с углом наклона $\alpha=30^{\circ}$ лежит плоская квадратная рамка массой $m=40$ г со стороной 15 см. Магнитное поле $B=15$ Тл направлено вертикально вверх. Какой минимальный ток и в каком направлении надо пропустить через рамку, чтобы она перевернулась?

К задаче 2

Рамку проще повернуть относительно нижней стороны. Понятно тогда, в какую сторону вращает рамку момент силы тяжести – показано на рисунке:

То есть он направлен «к нам» согласно правилу буравчика. Значит, магнитный момент должен вращать рамку в другую сторону – то есть будет направлен «от нас». Тогда, чтобы магнитный момент такого направления получился, вектор $S$ должен быть направлен перпендикулярно плоскости рамки вниз, как показано:

Вид сбоку

Это диктует направление тока – по часовой.

Направление нормали к поверхности

$$ M_{magn}= ISB_{\parallel}=ISB\sin\alpha$$

$$M_t=mg \cdot \frac{a}{2}\cos \alpha$$

Приравниваем:

$$ISB\sin\alpha= mg \cdot \frac{a}{2}\cos \alpha$$

$$I=\frac{ mg \cos \alpha }{2a B\sin\alpha}=\frac{ 0,04\cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} }{2\cdot 0,15\cdot 15\cdot 0,5}=0,15$$

Ответ: 0,15 А.