Магнитное поле: взаимодействие проводников и магнитный момент

На сайте есть уже записи на тему "Магнитное поле". В этой статье предложены задачи на силу взаимодействия двух проводников с током, или рамки и прямолинейного проводника, а также задачи на определение магнитного момента катушки.

Задача 1.

По кольцевому проводу течет  ток $I_1$, а по прямолинейному проводнику, расположенному на оси кольца, течет ток $I_2$. Определить силу взаимодействия этих токов.

Линии индукции линейного провода представляют собой окружности, поэтому они сонаправлены току $I_1$. Аналогично, линии индукции тока $I_1$ представляют собой окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных линейному проводу, следовательно, параллельны току $I_2$. Так как угол между током и линиями индукции в обоих случаях равен нулю, то сила взаимодействия равна нулю.

К задаче 1

Задача 2.

  Проводник в виде тонкого полукольца радиусом $R= 10$ см находится в однородном  магнитном поле с индукцией $В = 5\cdot 10^{-2}$Тл. Сила тока в проводнике $I= 10$ А. Найти силу, действующую на проводник, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям индукции, а подводящие провода находятся вне поля.

Разделим наш проводник на малые кусочки $dl$. Тогда длина проводника

$$L=n\cdot dl=\pi R$$

Сила, действующая на проводник, равна

$$F=IBL=IB\pi R=10\cdot 5\cdot 10^{-2}\cdot \pi \cdot 0,1=0,157$$

Ответ: $F=0,157$ Н.

Задача 3.

Какую минимальную работу совершает однородное магнитное поле с индукцией $B = 1,5$ Тл при перемещении проводника длиной $l= 0,2$ м на расстояние $d = 0,25$ м? Сила тока в проводнике $I = 10$ А. Направление перемещения перпендикулярно вектору  магнитной индукции и направлению тока. Проводник расположен под углом $\alpha= 30^{\circ}$ к вектору магнитной  индукции.

Работа равна произведению силы на перемещение:

$$A=Fd$$

Сила

$$F=IBl \sin{\alpha}$$

$$A= IBl \sin{\alpha}\cdot d=10 \cdot 1,5\cdot 0,2\sin{30^{\circ}}\cdot0,25=0,375$$
Ответ: $A=0,375$ Дж.

Задача 4.

 По двум прямолинейным проводникам, находящимся на расстоянии $r_1 = 5$ см друг от друга, текут токи в одном направлении. Сила тока в первом проводнике $I_1 = 10$ А, во втором проводнике  $I_2 = 20$ А. Определить работу на единицу длины проводника, необходимую для того, чтобы развести проводники на расстояние $r_2 = 10$ см.

К задаче 4 - рисунок 1

Работа равна произведению силы на перемещение:

$$A=Fr_2$$

Сила взаимодействия двух проводников определяется формулой
$$F=\frac{\mu_0\cdot I_1I_2 l}{2 \pi r_1}$$

Но в данном случае сила переменна! Работа будет определяться площадью под кривой:

К задаче 4

Площадь под кривой можно определить с помощью интеграла, тогда

$$A=\int_{r_1}^{r_2} F dr=\int_{r_1}^{r_2}\frac{\mu_0\cdot I_1I_2 l}{2 \pi r}dr=\frac{\mu_0\cdot I_1I_2 l}{2 \pi}\int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{r}=\frac{\mu_0\cdot I_1I_2 l}{2 \pi} \Bigl. \ln r \Bigr|_{r_1}^{r_2}=\frac{\mu_0\cdot I_1I_2 l}{2 \pi}(\ln r_2-\ln r_1)= \frac{\mu_0\cdot I_1I_2 l}{2 \pi}\ln{\frac{r_2}{r_1}}$$

$$\frac{A}{l}=\frac{\mu_0\cdot I_1I_2}{2 \pi}\ln{\frac{r_2}{r_1}}=\frac{1,26\cdot10^{-6}\cdot 10\cdot20}{2 \pi }\ln{\frac{0,1}{0,05}}=27,6\cdot10^{-6}$$

Ответ: $\frac{A}{l}=27,6$ мкДж/м.

Задача 5.

Укрепленную на конце коромысла весов небольшую катушку  с числом витков $N = 200$ поместили в зазор между полюсами магнита. Площадь поперечного сечения катушки $S= 1$ см$^2$, длина плеча ОА коромысла $l = 30$ см. В отсутствии тока весы уравновешены. Если через катушку пропустить ток, то для восстановления равновесия придется изменить груз на чаше весов на $\Delta m= 60$ мг. Найти индукцию магнитного поля при силе тока в катушке $I= 22$ мА.

К задаче 5

Магнитный момент, создаваемый катушкой, равен ($\sin{\alpha}=0$)

$$M=BISN$$

Этот момент уравновешен моментом механическим, который равен произведению силы на плечо:

$$M=\Delta m g l$$

Тогда

$$ BISN=\Delta m g l$$

$$B=\frac{\Delta m g l }{ISN}=\frac{60\cdot10^{-6}\cdot10\cdot0,3}{22\cdot10^{-3}\cdot10^{-4}\cdot200}=\frac{9}{22}=0,4$$

Ответ: $B=0,4$ Тл.

Задача 6.

В центре длинного соленоида, на каждый метр длины которого приходится $n$ витков, находится катушка, состоящая из $N$ витков поперечного сечения $S$  (рис. 13.43). Катушка укреплена на одном конце коромысла весов, которые, в отсутствии тока, находятся в равновесии. Когда через систему пропускают ток, то для уравновешивания весов на правое плечо коромысла добавляют груз массой $m$. Длина правого плеча коромысла $l$. Определить силу тока в системе, если катушка и соленоид соединены последовательно.

К задаче 6

Индукцию поля можно записать через напряженность поля:

$$B=\mu_0 H$$

По закону полного тока

$$Iw=Hl$$

$$B=\mu_0 \frac{Iw}{l}$$

Общее число витков $w$, деленное на длину $l$, как раз и будет  величиной $n$:

$$ B=\mu_0 In$$

Далее, как и в предыдущей задаче, составляем уравнение равенства моментов:

$$ BISN= m g l$$

$$\mu_0 I^2 SNn= m g l$$

$$I^2=\frac{ m g l }{\mu_0  S N n }$$

$$ I=\sqrt{\frac{ m g l }{\mu_0  S N n }}$$

Ответ: $ I=\sqrt{\frac{m g l }{\mu_0  S N n }}$

Задача 7.

Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две ее стороны параллельны проводу. Сила тока в рамке и проводе одинакова и $I = 1$ кА. Определить силу, действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки находится на расстоянии, равном ее длине.

К задаче 7

С проводом будут взаимодействовать две стороны рамки, параллельные ему. Ближайшая расположена на расстоянии $l$, дальняя – на расстоянии $2l$. Причем, если ток в ближней стороне рамки сонаправлен с током в проводе, то в дальней – противонаправлен. Тогда

$$F=F_1-F_2=\frac{\mu_0I_1I_2l}{2\pi l}-\frac{\mu_0I_1I_2l}{4\pi l}=\frac{\mu_0I^2}{4\pi }=\frac{1,26\cdot10^{-6}\cdot10^6}{4\pi }=0,1$$

Ответ: $F=0,1$ Н.