Вот еще несколько задач, связанных с магнитным полем и движением проводящих перемычек в нем.
Задача 1.
Проводник $OD$ может скользить по дуге $ADC$ радиусом $l$. Постоянное однородное магнитное поле с индукцией $B$ перпендикулярно плоскости дуги. Какую силу надо приложить в точке $D$ перпендикулярно проводнику $OD$, чтобы вращать его с постоянной скоростью? Сопротивление участка $OC$ равно $R$. Сопротивление остальных проводников не учитывать.
К задаче 1
Решение. Показать
При движении проводника в поле в нем возникнет ток, порожденный ЭДС индукции, и возникнет сила Ампера. Эта сила будет приложена в центре проводника, а сила, с которой мы на проводник будем воздействовать – в точке на его конце. Поэтому надо воспользоваться правилом моментов ($l=OD$)
$$F_A\cdot\frac{l}{2}=Fl$$
$$F=\frac{F_A}{2}$$
Пояснение к правилу моментов
Линейная скорость конца перемычки равна
$$\upsilon=\omega l=\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}l$$
Площадь круга $\pi l^2$, это соответствует углу в $2\pi$ радиан, площадь, заметаемая перемычкой, соответствует пройденному ею углу $\Delta \varphi$. Составим пропорцию:
$$\pi l^2 - 2\pi$$
$$\Delta S - \Delta \varphi$$
$$\Delta S=\frac{\Delta \varphi l^2}{2}$$
Тогда возникающая ЭДС индукции в рамке
$$E=\frac{B\Delta S}{\Delta t}=\frac{B\Delta \varphi l^2}{2\Delta t }$$
$$E=\frac{B\omega l^2}{2}$$
Ток в рамке
$$I=\frac{E}{R}=\frac{B\omega l^2}{2R}$$
Сила Ампера
$$F_A=BIl=\frac{B^2\omega l^3}{2R}$$
Находим искомую силу:
$$F=\frac{F_A}{2}=\frac{B^2\omega l^3}{4R}$$
Ответ: $F=\frac{B^2\omega l^3}{4R}$
Задача 2.
По двум металлическим стержням, замкнутым проводником и расположенным параллельно друг другу на расстоянии 0,5 м под углом $30^{\circ}$ к горизонту, движется стержень массой $m=1$ кг. Система расположена в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией $B=1$ Тл. Определить установившуюся скорость движения стержня, если коэффициент трения $\mu=0,5$. Сопротивление стержня постоянно и равно $R=1$ Ом.
К задаче 2
Решение. Показать
Предполагаем (судя по массе и величине индукции), что перемычка двигается вниз. Тогда на нее действуют силы Ампера, тяжести, трения и сила реакции опоры. Введем оси координат, как показано на рисунке, и запишем уравнения по второму закону Ньютона в проекциях на эти оси:
К решению задачи 2
$$0=mg\sin \alpha-F_{tr}-F_A\cos\alpha$$
$$N=mg\cos\alpha+F_A\sin\alpha$$
Сила трения равна
$$F_{tr}=\mu N=\mu(mg\cos\alpha+F_A\sin\alpha)$$
Таким образом,
$$ mg\sin \alpha-F_A\cos\alpha=\mu(mg\cos\alpha+F_A\sin\alpha)$$
$$ mg\sin \alpha-\mu mg\cos\alpha= F_A\cos\alpha+\mu F_A\sin\alpha$$
$$mg(\sin \alpha-\mu \cos\alpha)= F_A(\cos\alpha+\mu \sin\alpha)$$
Сила Ампера равна
$$F_A=BIl$$
$$I=\frac{E}{R}=\frac{B\Delta S}{Rt}=\frac{Bl\upsilon t\cos \alpha}{Rt}=\frac{Bl\upsilon\cos \alpha}{R}$$
$$F_A=BIl=\frac{B^2l^2\upsilon\cos \alpha}{R}$$
$$mg(\sin \alpha-\mu \cos\alpha)= \frac{B^2l^2\upsilon\cos \alpha}{R}\cdot (\cos\alpha+\mu \sin\alpha)$$
Отсюда скорость
$$\upsilon=\frac{mgR(\sin \alpha-\mu \cos\alpha)}{ B^2l^2\cos \alpha (\cos\alpha+\mu \sin\alpha)}= \frac{1\cdot10\cdot1(0,5-0,5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})}{ 1^2\cdot0,5^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2}+0,5\cdot0,5)}=2,7$$
Ответ: 2,7 м/с.
Задача 3.
Между двумя параллельными проводящими шинами включена лампочка сопротивлением $R=100$ Ом. По шинам без трения может скользить проводящая перемычка. Расстояние между шинами $l=10$ см. Система расположена в однородном магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плоскости, в которой лежат шины. Индукция магнитного поля равна $B=0,2$ Тл. Если перемычку тянуть с силой 10 мкН, то она движется с постоянной скоростью. Определить эту скорость. Определить мощность лампочки. Сопротивлением всех элементов, кроме лампочки, пренебречь.
К задаче 3
Решение. Показать
В перемычке наводится ЭДС, которая порождает ток, а тот, в свою очередь, является причиной появления силы Ампера (тормозящей). Поэтому перемычка будет двигаться с постоянной скоростью, если сила, с которой ее тянут, будет равна силе Ампера:
$$F=F_A=IBl=\frac{E}{R}\cdot Bl=\frac{B^2l^2\upsilon}{R}$$
$$\upsilon=\frac{FR}{B^2l^2}=\frac{10^{-5}\cdot100}{0,2^2\cdot0,1^2}=2,5$$
Мощность лампы равна
$$P=EI=\frac{F}{Bl} \cdot E=\frac{F}{Bl} \cdot Bl\upsilon=F\upsilon=10^{-5}\cdot2,5=25\cdot10^{-6}$$
Ответ: 2,5 м/c, 25 мкВт
Простая физика