Индуктивность. Подготовка к олимпиадам-2

Цепи с индуктивностями и ключами. Задачи похожи, но все разные. Можно найти много модификаций таких задач в рыжем пособии Александрова и др.

Задача 1.

В схеме, показанной на рисунке, все элементы можно считать идеальными. Параметры элементов указаны на рисунке. До замыкания ключа К ток в цепи отсутствовал. Ключ замыкают на некоторое время, а затем размыкают. Оказалось, что после размыкания ключа через резистор протёк заряд $q_0$. 1) Найдите ток через катушку сразу после размыкания ключа. 2) Какой заряд протёк через катушку за время, пока ключ был замкнут?

Решение. Когда ключ замкнули, ток сразу возник в резисторе и медленно увеличивается в катушке. При замкнутом ключе через резистор течет

$$I_R=\frac{\varepsilon}{R}$$

ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке, равна напряжению на резисторе, так как они включены параллельно:

$$L\dot I_L=I_RR=\varepsilon $$

Домножим на $\Delta t$:

$$LI_L=\varepsilon \Delta t $$

$$I_L=\frac{\varepsilon \Delta t }{L}$$

Заряд – интеграл от тока, поэтому через резистор протечет заряд

$$q_R=\frac{\varepsilon}{R}\tau$$

А через катушку –

$$q_L=\frac{\varepsilon \tau^2 }{2L}$$

Теперь разомкнем ключ. Ток в катушке не может измениться мгновенно, поэтому для момента сразу после размыкания можно записать:

$$L\dot I+IR=0$$

Домножим на $\Delta t$:

$$L\Delta I+IR\Delta t=0$$

И перепишем в виде

$$ L\Delta I+R\Delta q=0$$

Суммируем:

$$L(0-I_0)+Rq_0=0$$

$$I_0=q_0\frac{R}{L}$$

С другой стороны,

$$ I_0=\frac{\varepsilon}{L}\tau$$

А

$$q_0=\frac{\varepsilon}{R}\tau$$

Откуда

$$\tau=\frac{q_0 R}{\varepsilon}$$

Через источник протек заряд

$$q=q_R+q_L=q_0+\frac{\varepsilon \tau^2 }{2L}= q_0+\frac{\varepsilon q_0^2R^2 }{2L\varepsilon^2}= q_0+\frac{q_0^2 R^2 }{2L\varepsilon}$$

Через катушку протек заряд

$$ q_L=\frac{q_0^2 R^2 }{2L\varepsilon}$$

Ответ: 1) $I_0=q_0\frac{R}{L}$; 2) $q_L=\frac{q_0^2 R^2 }{2L\varepsilon}$.

Задача 2.

В цепи, показанной на рисунке, все элементы можно считать идеальными. В начальный момент ключ разомкнут, ток в цепи отсутствует. Ключ на некоторое время замыкают, а потом размыкают. Оказалось, что после размыкания ключа в цепи выделилось в два раза больше теплоты, чем при замкнутом ключе. Найдите отношение заряда, протекшего через источник при замкнутом ключе, к заряду, протекшему через резистор после размыкания ключа.

Решение.

Пусть ток через резистор $I_R$, он возникает сразу после замыкания ключа, а ток через катушку $I_L$, он нарастает постепенно.

$$\varepsilon=I_R R$$

$$I_R=\frac{\varepsilon }{R}$$

При замкнутом ключе выделится

$$Q_1=I^2Rt_1=\frac{\varepsilon^2}{R}t_1$$

Для контура с катушкой

$$-L\dot {I_L}+\varepsilon=0$$

$$\dot{I_L}=\frac{\varepsilon}{L}$$

Домножив на $\Delta t$, получим

$$I_L=\frac{\varepsilon}{L}\Delta t$$

Через время $t_1$, в течение которого замкнут ключ, ток достигнет значения

$$I_{L1}=\frac{\varepsilon}{L}t_1$$

В катушке будет запасена энергия

$$Q_2=\frac{LI_{L1}^2}{2}=\frac{L}{2}\cdot \frac{\varepsilon^2}{L^2}t_1^2=\frac{\varepsilon^2}{2L}t_1^2$$

Эта энергия и выделится в цепи после размыкания ключа. И по условию, она вдвое больше $Q_1$:

$$Q_2=2Q_1$$

$$\frac{\varepsilon^2}{2L}t_1^2=\frac{2\varepsilon^2}{R}t_1$$

Откуда

$$t_1=\frac{4L}{R}$$

Ток через источник равен

$$I_{\varepsilon}=I_R+I_L$$

$$I_{\varepsilon}=\frac{\varepsilon }{R}+\frac{\varepsilon }{L}t_1$$

Ток растет со временем линейно, а заряд – площадь под графиком тока:

Определяем площадь под графиком:

$$q_{ist}=\frac{\frac{\varepsilon }{R}+\frac{\varepsilon }{R}+\frac{\varepsilon }{L}t_1}{2}\cdot t_1$$

$$q_{ist}=\frac{\varepsilon }{R} t_1+\frac{\varepsilon }{2L}t_1^2$$

Рассмотрим цепь после размыкания ключа:

$$-L\dot I=IR$$

Домножаем на $\Delta t$:

$$-L\Delta I=qR$$

$$LI_L=qR$$

$$q_2=\frac{LI_L}{R}=\frac{L}{R}\cdot \frac{\varepsilon }{L}t_1=\frac{\varepsilon }{R}t_1$$

Определим теперь отношение зарядов:

$$\frac{ q_{ist}}{q_2}=\frac{\frac{\varepsilon }{R} t_1+\frac{\varepsilon }{2L}t_1^2}{\frac{\varepsilon }{R} t_1}=\frac{\frac{1}{R}+\frac{t_1}{2L}}{\frac{1}{R}}=1+\frac{\frac{4L}{R\cdot 2L}}{\frac{1}{R}}$$

$$\frac{ q_{ist}}{q_2}=1+2=3$$

Ответ: 3.

Задача 3.

В электрической цепи с мостиком Уитстона, изображённой на рисунке, после установления всех токов размыкают ключ К. Определите, при какой величине сопротивлений $R_1$, через микроамперметр с внутренним сопротивлением $r$ после размыкания ключа К протечет наибольший заряд $Q$. Все остальные параметры электрической цепи, указанные на рисунке, считать заданными. Внутренним сопротивлением источника напряжения и сопротивлением соединительных проводов пренебречь.

Решение. Поначалу, пока ключ замкнут, катушку можно заменить отрезком провода и токи в верхней и нижней ветвях одинаковы. Поэтому через катушку протекает ток

$$I_{L0}=\frac{\varepsilon}{R+R_1}$$

После отключения источника ток в катушке сразу не может измениться, запишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:

$$I_L=I_r+I_1$$

$$2I_1R_1-I_r r=0$$

Отсюда

$$2I_1=\frac{I_r r}{R_1}$$

И для левого контура

$$-L\frac{dI_L}{dt}=2I_L R+I_r r~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

$$I_L=I_r+\frac{I_r r}{2R_1}=I_r\left(1+\frac{r}{2R_1}\right)$$

$$I_L=I_r\left(\frac{2R_1+r}{2R_1}\right)$$

Подставим в (1)

$$-L\frac{dI_L}{dt}= I_r r+2RI_r\left(\frac{2R_1+r}{2R_1}\right)$$

$$-L\frac{dI_L}{dt}= I_r \left(r+2R\frac{2R_1+r}{2R_1}\right)$$

$$-L\frac{dI_L}{dt}= I_r \left(\frac{2R_1 r+2Rr+4RR_1}{2R_1}\right)$$

$$- \frac{dI_L}{dt}= I_r \left(\frac{R_1 r+Rr+2RR_1}{ L R_1}\right)$$

Домножаем на $\Delta t$:

$$\Delta I_L=-I_r \Delta t\left(\frac{R_1 r+Rr+2RR_1}{ L R_1}\right)$$

Тогда произведение $ I_r \Delta t$ - заряд, протекший через микроамперметр.

$$\Delta Q=-\frac{\Delta I_L R_1L}{ R_1 r+Rr+2RR_1}$$

Так как

$$\Delta I_L=0-I_{L0}=-I_{L0}=-\frac{\varepsilon}{R+R_1}$$

То

$$Q=\frac{ R_1L}{ R_1 r+Rr+2RR_1}\cdot \frac{\varepsilon}{R+R_1}$$

$$Q=\frac{ L}{ r+\frac{Rr}{R_1}+2R}\cdot \frac{\varepsilon}{R+R_1}$$

Теперь числитель этого выражения не зависит от сопротивлений. Поэтому значение заряда максимально, если знаменатель минимален.

$$ (r+\frac{Rr}{R_1}+2R)( R+R_1)\rightarrow min$$

Берем производную от произведения:

$$-\frac{Rr}{R_1^2}(R+R_1)+ r+\frac{Rr}{R_1}+2R=0$$

$$-\frac{Rr}{R_1^2}(R+R_1)+ \frac{Rr+2RR_1+rR_1}{R_1}=0$$

$$\frac{Rr+2RR_1+rR_1}{R_1}=\frac{Rr}{R_1^2}(R+R_1)$$

$$ Rr+2RR_1+rR_1=\frac{Rr}{R_1}(R+R_1)$$

$$ Rr+2RR_1+rR_1=\frac{R^2r}{R_1}+Rr$$

$$ 2RR_1+rR_1=\frac{R^2r}{R_1}$$

$$ 2RR_1^2+rR_1^2 =R^2r $$

$$R_1^2=\frac{rR^2}{r+2R}$$

$$R_1=R\sqrt{\frac{r}{r+2R}}$$

Ответ: $R_1=R\sqrt{\frac{r}{r+2R}}$

Задача 4.

Виток тонкого провода, имеющий форму квадрата, обладает индуктивностью $L_1$ (рисунок а). Виток из такого же провода, идущего по ребрам куба, как это показано на рис. б, имеет индуктивность $L_2$. Найдите индуктивность показанного на рис. в витка из такого же провода. (Витки на рисунках выделены толстыми линиями).

Решение. По определению, поток через один квадратик

$$\Phi_1=L_1I$$

Это «собственный» поток через квадратик.

Теперь, так как квадратиков 2, они обладают и собственными потоками, и из второго попадает часть потока в первый, а из первого – во второй.

$$\Phi_2=L_2I=2L_1I+2\Phi_c$$

В случае 3 таких «несобственных» потоков 6 штук:

$$\Phi_3=3\Phi_1+6\Phi_c$$

$$\Phi_c=\frac{\Phi_2-2\Phi_1}{2}$$

$$\Phi_3=3\Phi_1+3\Phi_2-6\Phi_1$$

$$\Phi_3=3\Phi_2-3\Phi_1$$

$$L_3I=2L_2I-3L_1I$$

$$L_3=3(L_2-L_1)$$

Ответ: $L_3=3(L_2-L_1)$.