Две задачки с колебательным контуром

Задача 1.

В колебательном контуре индуктивность катушки 10 мГн, амплитуда колебаний силы тока 30 мА. Найдите энергию электрического поля конденсатора и магнитного поля в катушке в тот момент, когда мгновенное значение силы тока в 3 раза меньше амплитудного значения.

Решение. Можем найти полную энергию контура. Она «состоит» в указанный момент времени из энергии катушки и энергии конденсатора:

$$E_{poln}=E_L+E_C$$

$$\frac{LI_m^2}{2}=E_C+\frac{LI^2}{2}$$

Подставим ток $I=\frac{I_m}{3}$:

$$\frac{LI_m^2}{2}=E_C+\frac{LI_m^2}{2\cdot 9}$$

$$E_C =\frac{LI_m^2}{2}-\frac{LI_m^2}{18}=\frac{4LI_m^2}{9}$$

Определим $LI_m^2$:

$$LI_m^2=0,01\cdot 30^2\cdot 10^{-6}=9\cdot 10^{-6}$$

Найдем энергию конденсатора:

$$E_C =\frac{4}{9}\cdot 9\cdot 10^{-6}=4\cdot 10^{-6}$$

$$ E_{poln}=\frac{ LI_m^2}{2}=4,5\cdot 10^{-6}$$

$$E_{L}= E_{poln}- E_C=4,5\cdot 10^{-6}-4\cdot 10^{-6}=0,5\cdot 10^{-6}$$

Ответ: $E_C =4$ мкДж, $E_L=0,5$ мкДж.

Задача 2.

Катушка индуктивностью 30 мГн присоединена к плоскому конденсатору с площадью перекрытия пластин 10 см$^2$ и расстоянием между ними 2 мм. Диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами, равна 6. Чему равна амплитуда напряжения в контуре, если амплитуда силы тока составляет 20 мА?

Решение. Применим закон сохранения энергии:

$$\frac{LI_m^2}{2}=\frac{CU_m^2}{2}$$

$$ LI_m^2=\frac{\varepsilon_0\varepsilon S U_m^2}{d}$$

Откуда

$$U_m=I_m\sqrt{\frac{Ld}{\varepsilon_0\varepsilon S }}$$

$$U_m=20\cdot 10^{-3}\sqrt{\frac{30\cdot 10^{-3}\cdot 0,002}{8,85\cdot 10^{-12}\cdot 6\cdot 10^{-3}}}=672,3$$

Ответ: 672 В.