Закон Кулона: задачник Добродеева

14.16.

Три точечных заряда $q_1 = 0,9$ мкКл, $q_2 = 0,5$ мкКл и $q_3 = 0,3$ мкКл расположены вдоль одной прямой и связаны двумя нитями, каждая длиной $l=0,1$ м. Найти натяжение нитей $T_{12}$ и $T_{23}$. Заряд $q_2$ находится посередине.

Решение.

Рисунок к задаче 14.16

Пусть между зарядами 1 и 2 сила натяжения нити $T_{12}$, а между зарядами 2 и 3 - $T_{23}$. Тогда сила натяжения нити $T_{12}$ уравновешивает две силы Кулона на заряд 1: со стороны зарядов 2 и 3:

$$T_{12}=F_{12}+F_{13}$$

$$T_{12}=\frac{kq_1q_2}{l^2}+\frac{kq_1q_3}{(2l)^2}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 0,9\cdot 0,5\cdot 10^{-12}}{0,1^2}+\frac{9\cdot 10^9\cdot 0,9\cdot 0,3\cdot 10^{-12}}{0,2^2}=0,46575$$

Расставим силы

Сила натяжения нити $T_{23}$ уравновешивает две силы Кулона на заряд 3: со стороны зарядов 2 и 1:

$$T_{23}=F_{23}+F_{13}$$

$$T_{23}=\frac{kq_3q_2}{l^2}+\frac{kq_3q_1}{(2l)^2}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 0,3\cdot 0,5\cdot 10^{-12}}{0,1^2}+\frac{9\cdot 10^9\cdot 0,3\cdot 0,9\cdot 10^{-12}}{0,2^2}=0,19575$$

Ответ: $ T_{12}=0,47$ Н, $T_{23}=0,2$ Н.

14.17.

Два заряженных шарика соединены нитью длиной $l = 10$ см. Отношение масс шариков $\frac{m_1}{m_2} = 2$, заряды одинаковы по величине $q = 0,1$ мкКл, но противоположны по знаку. Какую внешнюю силу $F$ надо приложить к шарику массой $m_1$, чтобы в процессе движения нить была натянута? Силу тяжести не учитывать.

Решение.

Рисунок к задаче 14.17 (и силы)

Для шарика массой $m$ уравнение по второму закону Ньютона:

$$ma=T+F_q$$

Для шарика массой $2m$ (сила натяжения нити и сила Кулона на него тоже действуют, но направлены они влево, не стала рисовать, чтобы не загромождать рисунок):

$$2ma=F-F_q-T$$

В предельном случае нить натянута, но сила $T$ уже нулевая:

$$ma=F_q$$

$$2ma=F-F_q$$

Тогда

$$2ma=F-ma$$

$$3ma=F$$

$$F=3F_q=3\cdot \frac{9\cdot 10^9\cdot 0,1^2\cdot 10^{-12}}{0,1^2}=27\cdot 10^{-3}$$

Ответ: 27 мН.

14.18.

Три одинаковых шарика массой $m = 10$ г каждый соединены нитями одинаковой длины $l = 10$ см. Два шарика имеют заряд $q = 0,1$ мкКл, третий шарик - отрицательный заряд ($-q$). К этому шарику приложили силу $F$, направленную перпендикулярно нити, соединяющей положительные заряды, под действием которой вся система (рис. 14.2) движется с ускорением. При этом натяжения всех нитей одинаковы. Найти величину ускорения $а$. Силу тяжести не учитывать.

Решение.

Рисунок к задаче 14.18

Запишем уравнение по второму закону Ньютона для верхнего заряда, в проекциях на ось $y$:

$$F_q-T-T\cos 60^{\circ}-F_q\cos 60^{\circ}=0$$

Откуда

$$\frac{F_q}{2}=1,5T$$

Или

$$F_q=3T$$

Запишем уравнение по второму закону Ньютона для шарика справа в проекциях на ось $x$:

$$ma=F-2F_q\cos 30^{\circ}-2T\cos 30^{\circ}$$

Добавляем силы)))

Запишем второй закон Ньютона для всей системы:

$$F=3ma$$

Тогда

$$ma=3ma-2F_q\cos 30^{\circ}-2\frac{F_q}{3}\cos 30^{\circ}$$

$$2ma=2F_q\cos 30^{\circ}+2\frac{F_q}{3}\cos 30^{\circ}$$

$$ma=F_q\cos 30^{\circ}+\frac{F_q}{3}\cos 30^{\circ}$$

$$ma=\frac{4F_q}{3}\cos 30^{\circ}$$

$$a=\frac{4F_q}{3m}\cos 30^{\circ}=\frac{4kq^2}{3ml^2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$a=\frac{2\sqrt{3}kq^2}{3ml^2}=\frac{2\sqrt{3}\cdot 9\cdot 10^9\cdot 10^{-14}}{3\cdot 0,01\cdot 0,1^2}=1,039$$

Ответ: $a=1,04$ м/с$^2$.

14.19.

Внутри гладкой сферы находится маленький заряженный шарик. Какой величины $Q$ заряд нужно поместить в нижней точке сферы, для того чтобы шарик устойчиво удерживался в ее верхней точке? Диаметр сферы $d= 50$ см, заряд шарика $q = 1$ мкКл, его масса $m = 10$ г. Указание: использовать условие устойчивости равновесия.

Решение. Если просто потребовать, чтобы $F_q>mg$, то решение не будет правильным. Необходимо, чтобы наличествовала возвращающая сила. Для решения отклоним шарик на малюсенький угол от положения равновесия в верхней точке:

Рисунок к задаче 14.19

На рисунке $O$ - центр окружности. Углы 1 и 2 равны, как углы равнобедренного треугольника. Угол 3 равен углу 1 как накрестлежащий. Угол $\angle 4=2\angle 2$ как центральный (угол 2- вписанный). Таким образом, с учетом, что углы малы и их синусы могут быть заменены ими самими (в радианах) понимаем, что проекция силы тяжести на радиальную ось и силы Кулона (на нее же) должны отличаться вдвое:

$$F_q>2mg$$

$$\frac{kqQ}{d^2}>2mg$$

$$Q>\frac{2mgd^2}{kq}= \frac{2\cdot 0,01\cdot 10\cdot 0,5^2}{9\cdot 10^9\cdot 10^{-6}}=\frac{50}{9}\cdot 10^{-6}=5,6\cdot 10^{-6}$$

Ответ: $Q>5,6$ мкКл.