Закон Кулона: задачник Белолипецкого

Задача 1.

Найдите натяжение $T$ нити, соединяющей одинаковые шарики радиуса $r$ и массы $m$ каждый, в центре которых находятся одинаковые заряды $q$. Один из шариков плавает на поверхности жидкости с плотностью $\rho$ и диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$, второй шарик висит на нити внутри жидкости (см. рисунок). Расстояние между центрами шариков $L$.

Решение.

Рисунок к задаче 1 (расстановка сил на нижний шарик)

Запишем уравнение по второму закону Ньютона для обоих шариков. Для верхнего:

$$mg-F_q-F_{A1}+T=0$$

Для нижнего:

$$mg+F_q-F_{A2}-T=0$$

Сила Архимеда для верхнего шарика непонятна: неизвестен погруженный объем. А вот для нижнего она равна

$$ F_{A2}=\rho g V=\rho g \frac{4}{3}\pi r^3$$

Сила Кулона:

$$F_q=\frac{kq^2}{\varepsilon L^2}$$

Из закона Ньютона для второго шарика выразим $T$:

$$T= mg+F_q-F_{A2}=mg+\frac{kq^2}{\varepsilon L^2}-\rho g \frac{4}{3}\pi r^3$$

Ответ: $T= mg+\frac{kq^2}{\varepsilon L^2}-\rho g \frac{4}{3}\pi r^3$

Задача 2.

Два точечных заряда, находясь в воздухе на расстоянии $r_0 = 20$ см друг от друга, взаимодействуют с некоторой силой $F$. На каком расстоянии $r$ друг от друга нужно поместить эти заряды в масле с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon= 5$, чтобы они взаимодействовали с той же силой?

Решение. Сначала сила Кулона равна

$$F_q=\frac{kq^2}{r_0^2}$$

А затем

$$F_q=\frac{kq^2}{\varepsilon r^2}$$

Сила одна и та же, поэтому

$$r_0^2=\varepsilon r^2$$

$$r=r_0\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}}=0,2\cdot 0,447=0,089$$

Ответ: надо поместить заряды на расстоянии 8,9 см.

Задача 3.

Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины, опускают в керосин. Какова должна быть плотность материала шариков $\rho$, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и керосине был одинаков? Массы шариков равны. Диэлектрическая проницаемость керосина $\varepsilon= 2$, плотность керосина $\rho_0= 800$ кг/м$^3$.

Решение. Сделаем рисунок: 

Рисунок к задаче 3: справа шарики в керосине

В воздухе можно записать следующие условия равновесия (по обеим осям):

$$T\sin\alpha=F_q$$

$$T\cos \alpha=mg$$

Откуда

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{F_q}{mg}$$

Для второй ситуации (в керосине) условия равновесия будут такими:

$$ T\cos \alpha=mg-F_A$$

$$T\sin\alpha=\frac{F_q}{\varepsilon}$$

Тот же самый тангенс того же угла будет равен

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{F_q}{\varepsilon(mg-F_A )}$$

Приравняем тангенсы:

$$mg=\varepsilon(mg-F_A )$$

$$\varepsilon mg-mg=\varepsilon F_A$$

$$(\varepsilon-1)\cdot \rho V g=\varepsilon \rho_0 Vg$$

Откуда

$$\rho=\frac{\varepsilon \rho_0}{\varepsilon-1}=2\cdot 800=1600$$

Ответ: 1600 кг/м$^3$.