Закон Кулона в тетраэдре

Задача.

Пусть в углах основания правильного тетраэдра с ребром $a$ помещены электрические заряды $3Q, 3Q$ и $-2Q$. Найти силу, действующую на заряд $Q$ в вершине тетраэдра. $Q=5$ мкКл, $a=10$ см.

Решение. Поместим начало координат в центре основания. Определим координаты вершин тетраэдра (ось $z$ направлена вверх). Вершина $Q_1$:

$$Q_1\left{-\frac{a}{2};\ \ \ \  -\frac{a\sqrt{3}}{6};\ \ \ \ 0\right}$$

Вершина $Q_2$:

$$Q_2\left{\frac{a}{2};\ \ \ \ -\frac{a\sqrt{3}}{6};\ \ \ \ 0\right}$$

Вершина $Q_3$:

$$Q_3\left{0;\ \ \ \ \frac{a\sqrt{3}}{3};\ \ \ \ 0\right}$$

Для определения координат вершины $Q_4$ понадобится высота тетраэдра. Вычислим ее в треугольнике $OQ_3Q_4$:

$$OQ_3=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{\sqrt{3}}$$

По теореме Пифагора:

$$OQ_4^2=Q_3Q_4^2-OQ_3^2=a^2-\frac{a^2}{3}=\frac{2a^2}{3}$$

$$OQ_4=a\sqrt{\frac{2}{3}}= a\frac{\sqrt{6}}{3}$$

$$Q_4\left{0;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ a\frac{\sqrt{6}}{3}\right}$$

 Радиус-вектора вершин тетраэдра (из координат конца ветора вычли координаты начала – то есть начала координат):

$$\vec{r_1}=\left{-\frac{a}{2};\ \ \ \ -\frac{a\sqrt{3}}{6};\ \ \ \ 0\right}$$

$$\vec{r_2}=\left{\frac{a}{2};\ \ \ \ -\frac{a\sqrt{3}}{6};\ \ \ \ 0\right}$$

$$\vec{r_3}=\left{0;\ \ \ \ \frac{a\sqrt{3}}{3};\ \ \ \ 0\right}$$

$$\vec{r_4}=\left{0;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ \frac{a\sqrt{6}}{3}\right}$$

Векторы, проведенные из углов основания к вершине тетраэдра (из координат точки $Q_4$ вычитаем координаты точек $Q_1, Q_2$ и $Q_3$):

$$\vec{r_{14}}=a\left{\frac{1}{2};\ \ \ \ \frac{\sqrt{3}}{6};\ \ \ \ \frac{\sqrt{6}}{3}\right}$$

$$\vec{r_{24}}=a\left{-\frac{1}{2};\ \ \ \ \frac{\sqrt{3}}{6};\ \ \ \ \frac{\sqrt{6}}{3}\right}$$

$$\vec{r_{34}}=a\left{0;\ \ \ \ -\frac{\sqrt{3}}{3};\ \ \ \ \frac{\sqrt{6}}{3}\right}$$

Записываем закон Кулона (складываем векторы сил взаимодействия зарядов $Q_1, Q_2$ и $Q_3$ c $Q_4$, например:

$$F_{41}=\frac{kQ\cdot 3Q}{a^3}\vec{r_{14}}=\frac{kQ^2}{a^2}\cdot 3\left{\frac{1}{2};\ \ \ \ \frac{\sqrt{3}}{6};\ \ \ \ \frac{\sqrt{6}}{3}\right}$$

Сумма трех сил (не пишу подробно две оставшиеся)

$$\vec{F_4}=\frac{kQ^2}{a^2}\cdot \left(3\left{\frac{1}{2};\ \ \ \ \frac{\sqrt{3}}{6};\ \ \ \ \frac{\sqrt{6}}{3}\right}+3\left{-\frac{1}{2};\ \ \ \ \frac{\sqrt{3}}{6};\ \ \ \ \frac{\sqrt{6}}{3}\right}-$$

$$-2\left{0;\ \ \ \ -\frac{\sqrt{3}}{3};\ \ \ \ \frac{\sqrt{6}}{3} \right})=\frac{kQ^2}{a^2}\left{0;\ \ \ \ -\frac{5\sqrt{3}}{3};\ \ \ \ \frac{4\sqrt{6}}{3}\right}$$

$$F_4=\frac{kQ^2}{a^2}\sqrt{\left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)^2+\left(\frac{4\sqrt{6}}{3}\right)^2}=\frac{kQ^2}{a^2}\sqrt{19}=\frac{9\cdot10^9\cdot5^2\cdot10^{-12}}{0,1^2}\cdot\sqrt{19}=98,1$$

Ответ: 98,1 Н