Задачи Сириуса на закон Кулона - 2

Задача 1.

Одноименно заряженные маленькие шарики с зарядами $q$, $q$ и $3q$ находятся на одной прямой так, что расстояния между соседними шариками одинаковы. Определите отношение электрической силы, действующей на правый заряд 3q, к электрической силе, действующей на левый заряд q, то есть $\frac{F_{pr}}{F_{lev}}$. Ответ округлите до сотых.

Рисунок к задаче 1

Решение. Рассмотрим правый шарик с зарядом $3q$. Он отталкивается от обоих своих соседей. От ближнего с силой $\frac{k\cdot q\cdot 3q}{a^2}$, от дальнего с силой $\frac{k\cdot q\cdot 3q}{(2a)^2}$. Эти силы направлены в одну сторону – вправо, поэтому сложим их:

$$F_{pr}=\frac{3k\cdot q^2}{a^2}+\frac{3k\cdot q^2}{4a^2}=\frac{15k\cdot q^2}{4a^2}$$

Теперь определим таким же образом силу на левый заряд. Он отталкивается от среднего с силой $\frac{k\cdot q\cdot q}{a^2}$, а от правого $\frac{k\cdot q\cdot 3q}{(2a)^2}$, силы направлены влево. Складываем:

$$F_{lev}=\frac{k\cdot q^2}{a^2}+\frac{3k\cdot q^2}{4a^2}=\frac{7k\cdot q^2}{4a^2}$$

Определяем требуемое отношение:

$$\frac{F_{pr}}{F_{lev}}=\frac{15}{7}=2,14$$

Ответ: 2,14

Задача 2.

Решите предыдущую задачу в предположении, что заряд среднего шарика противоположен по знаку зарядам других шариков и равен $−q$. Ответ округлите до десятых.

Рисунок к задаче 2

Решение. Рассмотрим правый шарик с зарядом $3q$. Он отталкивается от дальнего соседа и притягивается к ближнему. От дальнего с силой $\frac{k\cdot q\cdot 3q}{4a^2}$, к ближнему с силой $\frac{k\cdot q\cdot 3q}{a^2}$. Эти силы направлены в разные стороны, причем вторая, очевидно, больше, поэтому вычтем их:

$$ F_{pr}=\frac{3k\cdot q^2}{a^2}-\frac{3k\cdot q^2}{4a^2}=\frac{9k\cdot q^2}{4a^2}$$

Теперь определим таким же образом силу на левый заряд. Он отталкивается от правого с силой $\frac{k\cdot q\cdot 3q}{(2a)^2}$, и притягивается к центральному с силой  $\frac{k\cdot q\cdot q}{a^2}$, силы направлены противоположно. Вычитаем:

$$F_{lev}=\frac{k\cdot q^2}{a^2}-\frac{3k\cdot q^2}{4a^2}=\frac{k\cdot q^2}{4a^2}$$

Определяем требуемое отношение:

$$\frac{F_{pr}}{F_{lev}}=\frac{9}{1}=9$$

Ответ: 9

Задача 3.

Четыре положительно заряженных маленьких тела связаны друг с другом тремя непроводящими нитями, как показано на рисунке. Длины всех нитей одинаковы. Найдите величину сил натяжения крайних нитей, если натяжение средней нити равно $T=9,2$ Н. Ответ выразите в Н, округлив до десятых.

Рисунок к задаче 3

Решение. Рассмотрим заряд под номером 1. На него действуют силы отталкивания $F_{12}, F_{13}, F_{14}$ со стороны всех других зарядов, все они направлены вправо. И также сила натяжения нити, назовем ее $T_1$, она как раз направлена влево. Тогда

$$ F_{12}=\frac{2kq^2}{r^2}$$

$$ F_{13}=\frac{2kq^2}{4r^2}$$

$$ F_{14}=\frac{kq^2}{9r^2}$$

Записываем условие равновесия для заряда 1:

$$T_1= F_{12}+ F_{13}+ F_{14}=\frac{2kq^2}{r^2}+\frac{2kq^2}{4r^2}+\frac{kq^2}{9r^2}=\frac{94kq^2}{36r^2}$$

Теперь рассмотрим заряд 2. На него действуют силы отталкивания $F_{21}, F_{23}, F_{24}$ со стороны всех других зарядов, причем $F_{21}$ направлена влево, а $ F_{23}, F_{24}$ - вправо. Кроме того, вправо действует сила $T_1$, которую мы ранее как-то уже определили, а влево – сила $T$, которая дана. Составим уравнение по второму закону Ньютона, условие равновесия для заряда 2:

$$T+ F_{21}= F_{23}+ F_{24}+T_1$$

Здесь

$$ F_{21}=F_{12}=\frac{2kq^2}{r^2}$$

$$ F_{23}=\frac{4kq^2}{r^2}$$

$$ F_{24}=\frac{2kq^2}{4r^2}$$

Подставим эти силы:

$$T+\frac{2kq^2}{r^2}=\frac{4kq^2}{r^2}+\frac{2kq^2}{4r^2}+\frac{94kq^2}{36r^2}$$

$$T=\frac{4kq^2}{r^2}+\frac{kq^2}{2r^2}+\frac{47kq^2}{18r^2}-\frac{2kq^2}{r^2}=\frac{92kq^2}{18r^2}$$

Так как сила $T=9,2$ Н, то

$$\frac{92kq^2}{18r^2}=9,2$$

$$\frac{kq^2}{r^2}=1,8$$

Теперь можно и силу $T_1$ найти, она равна

$$T_1=\frac{47kq^2}{18r^2}=\frac{47}{18}\cdot 1,8=4,7$$

Ответ: 4,7 Н

Задача 4.

Четыре положительных заряда $q$, $Q$, $q$, $Q$ связаны пятью нерастяжимыми нитями так, как показано на рисунке. Длина каждой нити $l$. Определите силу натяжения нити, связывающей заряды $Q$ и $Q$. $q=3$ мкКл, $Q=4$ мкКл, $l=20$ см. Ответ выразите в Н, округлив до десятых. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k=9\cdot 10^9$ Н$\cdot$ м$^2$/Кл$^2$.

Рисунок к задаче 4

Решение. Определим все силы Кулона в этой системе зарядов. Это силы $F_{qq}, F_{Qq}, F_{QQ}$. Расстояния между зарядами $q$ и $Q$, а также $Q$ и $Q$ одинаковы и равны $l$. А расстояние между зарядами $q$ и $q$ - равно удвоенной высоте правильного треугольника $\frac{\sqrt{3}}{2}l\cdot 2$. Тогда силы Кулона равны:

$$F_{Qq}=\frac{kQq}{l^2}$$

$$F_{QQ}=\frac{kQ^2}{l^2}$$

$$F_{qq}=\frac{kq^2}{3l^2}$$

Теперь рассмотрим правый заряд $q$. На него действуют три силы Кулона (все имеют проекцию, направленную вправо), и две силы натяжения нитей:

Силы на нитки в задаче 4

Запишем для него второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную ось:

$$2T^{*}\cos 30^{\circ}=2F_{Qq}\cos 30^{\circ}+F_{qq}$$

$$T^{*}\sqrt{3}=F_{Qq}\sqrt{3}+F_{qq}$$

$$T^{*}\sqrt{3}=\frac{kQq}{l^2}\sqrt{3}+\frac{kq^2}{3l^2}$$

$$T^{*}=\frac{kQq}{l^2}+\frac{kq^2}{3\sqrt{3}l^2}$$

Теперь таким же образом разберемся с зарядом $Q$ вверху. На него также действуют три силы Кулона, имеющие проекции, направленные вверх вдоль вертикальной оси, и три силы натяжения нитей, имеющие проекции, направленные вниз (эти силы присутствуют на первом рисунке). Записываем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось:

$$ F_{QQ}+2F_{Qq}\cos 60^{\circ}=2T^{*}\cos 60^{\circ}+T$$

$$ F_{QQ}+F_{Qq}=T^{*}+T$$

$$\frac{kQ^2}{l^2}+\frac{kQq}{l^2}=\frac{kQq}{l^2}+\frac{kq^2}{3\sqrt{3}l^2}+T$$

$$\frac{kQ^2}{l^2}=\frac{kq^2}{3\sqrt{3}l^2}+T$$

Таким образом,

$$T=\frac{kQ^2}{l^2}-\frac{kq^2}{3\sqrt{3}l^2}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 16\cdot 10^{-12}}{0,2^2}-\frac{9\cdot 10^9\cdot 9\cdot 10^{-12}}{0,2^2\cdot 3\sqrt{3}}=3,6-0,39=3,2$$

Ответ: 3,2 Н