Задачи Сириуса и не только на закон Кулона - 1

Задача 1.

Тело массой $m=5$ г подвешено с помощью тонких невесомых нитей длиной $L=1$ м каждая к двум наполненным гелием шарикам, которые несут на себе одинаковые электрические заряды. Система, зависнув в воздухе, находится в равновесии. Расстояние $l$между центрами шариков равно 40 см и много больше их радиусов. Найдите заряды на шариках, ответ округлить до десятых.

Решение: запишем уравнение по второму закону Ньютона для тела в проекциях на вертикальную ось:

$$mg=2T_1\cos \alpha$$

А на горизонтальную

$$F_q=T_1\sin \alpha$$

Значит,

$$T_1=\frac{mg}{2\cos \alpha}$$

$$F_q=T_1\sin \alpha=\frac{mg\sin \alpha }{2\cos \alpha }=\frac{mg}{2}\operatorname{tg}\alpha$$

С другой стороны,

$$ F_q=\frac{kq^2}{r^2}$$

$$\frac{kq^2}{r^2}=\frac{mg}{2}\operatorname{tg}\alpha$$

$$q^2=\frac{mgr^2}{2k}\operatorname{tg}\alpha$$

$$q=r\sqrt{\frac{mg}{2k}\operatorname{tg}\alpha}= 0,4\sqrt{\frac{0,05}{2\cdot 9\cdot 10^9}\cdot 0,2}=3\cdot 10^{-7}$$

Ответ: 0,3 мкКл

Задача 2.

Два точечных заряда величиной $q=10$ мкКл соединены резиновыми шнурами с неподвижными стенками так, как показано на рисунке, и находятся на расстоянии $2a=18$ см друг от друга. Расстояние между стенками $2l=80$ см, длина каждого недеформированного шнура $l=40$ см. Определите их жёсткость. Ответ выразите в кН/м, округлите до десятых. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k=9\cdot 10^9$ Н$\cdot$ м$^2$/Кл$^2$. Силами тяжести, действующими на заряды, можно пренебречь.

Решение. 

Рисунок к задаче 2

Совершенно очевидно, что длина шнура и расстояние между зарядами образуют пифагорову тройку 9, 40, 41. То есть шнуры растянуты на 1 см.

Сила Кулона направлена вверх, ей противодействуют две проекции сил натяжения нитей:

$$F_q=2T\cos \alpha$$

Из рисунка $\cos \alpha=\frac{9}{41}$,

$$T=\frac{ F_q }{2\cos \alpha }$$

Чтобы определить $T$, рассчитаем силу Кулона:

$$ F_q=\frac{kq^2}{4a^2}=\frac{9\cdot 10^9\cdot (10^{-5})^2}{4\cdot 0,09^2}=\frac{1000}{36}$$

И теперь найдем коэффициент жесткости (с учетом, что $\Delta x=0,01$ м):

$$k=\frac{T}{\Delta x}=\frac{ F_q }{2\cos \alpha \Delta x }=\frac{100}{36\cdot 2\cdot \frac{9}{41}\cdot 0,01}=6327$$

Ответ: 6,3 кН

Задача 3.

В воздухе висит на непроводящей нити маленький шарик A, заряженный положительным зарядом $q$. Снизу к нему подносят другой маленький шарик B с отрицательным зарядом $−q$, при этом сила натяжения нити возрастает в 2,5 раза. Во сколько раз по сравнению с первоначальной увеличится сила натяжения нити, в случае если заряд шарика B будет $−2q$? Ответ округлите до десятых.

Решение. Сначала на шарик действует сила тяжести $mg$. А при близости шарика с зарядом $-q$ добавляется сила Кулона, которая, очевидно, равна $1,5mg$. Если сила Кулона в связи с увеличением нижнего заряда вырастет вдвое (она же прямо зависит от величины заряда), то станет равна $3mg$, а сила натяжения, понятно, станет равна $4mg$.

Ответ: сила натяжения вырастет в 4 раза.

Задача 4.

На концах горизонтальной трубы длиной 60 см закреплены положительные заряды $q_1=1$ мкКл и $q_2=4$ мкКл. На каком расстоянии от заряда $q_1$ необходимо поместить внутрь трубы шарик с положительным зарядом $q=10$ мкКл, чтобы он находился в положении равновесия? Труба сделана из непроводящего материала. Ответ выразите в см, округлив до целого числа.

Рисунок к задаче 4

Решение. Заряженные шарики расположены в трубе, а значит, на одной прямой. Пусть расстояние между левым и внутренним шариками, а $0,6-x$ - расстояние между правым и внутренним. Все шарики одноименно заряжены, поэтому между ними будут действовать силы отталкивания, которые должны быть равны, чтобы шарик в трубе был бы в равновесии. Сила между левым и внутренним шариками:

$$F_1=\frac{kqq_1}{(0,6-x)^2}$$

Сила между правым и внутренним:

$$F_2=\frac{kqq_2}{x^2}$$

$$F_1=F_2$$

$$\frac{kqq_1}{(0,6-x)^2}=\frac{kqq_2}{x^2}$$

$$\frac{q_1}{(0,6-x)^2}=\frac{q_2}{x^2}$$

$$q_1 x^2=q_2\cdot (0,6-x)^2$$

Подставим значения зарядов:

$$ x^2=4\cdot (0,6-x)^2$$

Получили квадратное уравнение:

$$3x^2-4,8 x+1,44=0$$

Или

$$x^2-1,6x+0,48=0$$

Корень, который нам подходит, $x=0,4$ м.

Ответ: от заряда $q_1$ расположим заряд $q$ на расстоянии 20 см.