Задача с шариками (закон Кулона) из Сириуса

Задача.

Три маленьких шарика массой 15 г каждый подвешены на шёлковых нитях длиной по 1 м, сходящихся наверху в одном узле. Шарики заряжены одинаковыми положительными зарядами и висят в вершинах равностороннего треугольника со стороной 10 см. Каков заряд каждого шарика? Ответ выразите в нКл, округлив до целого числа. Ускорение свободного падения равно 10 м/с$^2$. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k=9\cdot 10^9$ Н$\cdot$ м$^2$/Кл$^2$.

Решение. На каждый шарик действует сила тяжести, сила натяжения нити и Кулоновы силы со стороны соседей. Кулоновы силы лежат в той же плоскости, в которой располагаются все шарики (ABC), сила натяжения нити  направлена вдоль нити и имеет проекцию на эту плоскость.

Рисунок с некоторыми данными к задаче и с расстановкой сил

Определим для начала $F_q$:

$$F_q=\frac{kq^2}{r^2}$$

Введем оси $x$ и $y$. Ось $x$ совпадает с медианой $BH$, ось $y$ перпендикулярна плоскости $ABC$ и направлена вверх. Введем также угол наклона нити подвеса шарика к плоскости $ABC$ - $\alpha$.

Ввели координатные оси и угол 

Теперь можно и уравнения по второму закону Ньютона записать. На ось $y$:

$$mg=T\sin \alpha$$

На ось $x$:

$$2F_q\cos 30^{\circ}=T\cos \alpha$$

Тогда, разделив уравнения, получим

$$F_q\sqrt{3} =mg\operatorname{ctg}\alpha \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

Дело за малым: разобраться с углом. Для этого определим сначала длину медианы $BH$:

$$BH=r\cos 30^{\circ}=r\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Определяем котангенс угла

Теперь найдем длину отрезка $BO_1$. Точка $O_1$ - проекция точки $O$ на плоскость $ABC$ и одновременно точка пересечения медиан (высот, биссектрис) треугольника $ABC$. Как известно, медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому

$$BO_1=\frac{2}{3}\cdot BH= r\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Получили прямоугольный треугольник $BOO_1$, в котором

$$\operatorname{ctg}\alpha=\frac{BO_1}{OO_1}$$

Определим $OO_1$ по теореме Пифагора в этом треугольнике, я прямо на калькуляторе сосчитаю – здесь этот расчет не привожу.

$$OO_1=0,998$$

Таким образом,

$$\operatorname{ctg}\alpha=\frac{BO_1}{OO_1}=\frac{0,0577}{0,998}=0,058$$

Вернемся теперь к (1):

$$\frac{kq^2}{r^2}\cdot\sqrt{3} =mg\operatorname{ctg}\alpha$$

$$q^2=\frac{ mg\operatorname{ctg}\alpha \cdot r^2}{k\sqrt{3}}=\frac{ 0,15\cdot 0,058 \cdot 0,1^2}{9\cdot 10^9\cdot \sqrt{3}}=5,589\cdot 10^{-15}$$

$$q=\sqrt{5,589\cdot 10^{-15}}=7,48\cdot 10^{-8}$$

Ответ: 75 нКл