Три задачи на закон Кулона в одной (из задачника Турчиной)

Задача.

Шарик массой $m$ и зарядом $q$, подвешенный на непроводящей нити длиной $L$ вращается вокруг вертикальной оси так, что нить составляет с вертикалью угол $\alpha$. Определить период обращения шарика и силу натяжения нити, если неподвижный точечный заряд $q$ находится: а) в точке подвеса нити; б) в центре окружности, описываемой шариком; в) на оси вращения, на расстоянии $l$ от шарика внизу.

Решение. а) Если заряд расположен в точке подвеса нити, то расстановка сил будет такая:

Рисунок к пункту а)

Тогда в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси можно записать:

$$ma_n=T_n\sin \alpha-F_q\sin\alpha$$

И

$$mg=T_n\cos\alpha-F_q\cos\alpha$$

Перепишем:

$$m\omega^2R=\sin \alpha (T_n-F_q)$$

$$mg=\cos\alpha (T_n-F_q)$$

Разделив уравнения, получим:

$$\frac{\omega^2R}{g}=\operatorname{tg}\alpha$$

Подставим $\omega=\frac{2\pi}{T}$:

$$\frac{4\pi^2 R}{gT^2}=\operatorname{tg}\alpha$$

Откуда период

$$T^2=\frac{4\pi^2 R}{g\operatorname{tg}\alpha}$$

$$T=\sqrt{\frac{4\pi^2 R}{g\operatorname{tg}\alpha}}=2\pi\sqrt{\frac{ R}{g\operatorname{tg}\alpha}}$$

Вспоминаем, что $R=L\sin \alpha$:

$$T=2\pi\sqrt{\frac{ L\sin \alpha }{g\operatorname{tg}\alpha}}$$

$$T=2\pi\sqrt{\frac{ L\cos \alpha }{g}}$$

Теперь найдем силу натяжения нити:

$$T_n=\frac{mg}{\cos\alpha}+F_q=\frac{mg}{\cos\alpha}+\frac{kq^2}{l^2}$$

Ответ: а) период $T=2\pi\sqrt{\frac{ L\cos \alpha }{g}}$, сила натяжения нити $T_n=\frac{mg}{\cos\alpha}+\frac{kq^2}{l^2}$.

б) Теперь заряд расположен в центре окружности:

Рисунок к пункту б)

Сила Кулона поменяла направление. Это найдет отражение в уравнениях:

$$ma_n=T_n\sin \alpha-F_q$$

И

$$mg=T_n\cos\alpha$$

Перепишем:

$$m\omega^2R= T_n\sin \alpha-F_q $$

$$T_n=\frac{mg}{\cos\alpha}$$

Подставим это в первое уравнение:

$$m\omega^2R= \frac{mg}{\cos\alpha}\sin \alpha-F_q $$

$$m\omega^2R=mg\operatorname{tg}\alpha-F_q$$

Подставим $\omega=\frac{2\pi}{T}$:

$$\frac{4\pi^2 mR}{T^2}= mg\operatorname{tg}\alpha-F_q$$

Откуда период

$$T^2=\frac{4\pi^2 mR}{ mg\operatorname{tg}\alpha-F_q}$$

$$T=\sqrt{\frac{4\pi^2 mL\sin\alpha}{ mg\operatorname{tg}\alpha-F_q}}$$

$$T=2\pi\sqrt{\frac{mL\sin\alpha}{ mg\operatorname{tg}\alpha-\frac{kq^2}{L^2\sin^2\alpha} }}$$

Ответ: б) период $T=2\pi\sqrt{\frac{mL\sin\alpha}{ mg\operatorname{tg}\alpha-\frac{kq^2}{L^2\sin^2\alpha} }}$, сила натяжения нити $T_n=\frac{mg}{\cos\alpha}$.

в) Расположим второй заряд внизу:

Рисунок к пункту в)

Уравнения будут такими:

$$ma_n=T_n\sin \alpha-F_q\sin\alpha$$

И

$$mg=T_n\cos\alpha+F_q\cos\alpha$$

Перепишем:

$$m\omega^2R=\sin \alpha (T_n-F_q)$$

$$mg=\cos\alpha (T_n+F_q)$$

Из последнего

$$T_n=\frac{mg}{\cos\alpha}-F_q=\frac{mg}{\cos\alpha}-\frac{kq^2}{L^2}$$

Подставим в первое $\omega=\frac{2\pi}{T}$ и силу натяжения нити:

$$\frac{4\pi^2 mR}{T^2}=\sin \alpha (\frac{mg}{\cos\alpha}-\frac{2kq^2}{L^2})$$

Откуда период

$$T^2=\frac{4\pi^2 mL\sin \alpha}{\sin \alpha (\frac{mg}{\cos\alpha}-\frac{2kq^2}{L^2})}$$

$$T=2\pi\sqrt{\frac{mL}{\frac{mg}{\cos\alpha}-\frac{2kq^2}{L^2}}}$$

Ответ: в) период $T=2\pi\sqrt{\frac{mL}{\frac{mg}{\cos\alpha}-\frac{2kq^2}{L^2}}}$, сила натяжения нити $T_n=\frac{mg}{\cos\alpha}-\frac{kq^2}{L^2}$.