Постоянный ток - задачник Добродеева. Часть 1

Задача 19.1.

Конденсатор емкостью $С = 100$ мкФ заряжается до напряжения $U = 500$ В за время $\tau = 0,5$ с. Каково среднее значение $I$ силы зарядного тока?

Решение. Ток, по определению,

$$I=\frac{q}{t}$$

Тогда у нас

$$I=\frac{CU}{\tau}=\frac{10^{-4}\cdot 500}{0,5}=0,1$$

Ответ: 0,1 А

Задача 19.2.

По проводу идет ток силой $I = 10$ А. Найти массу $m$ электронов, проходящих через сечение провода за время $t= 1$ ч.

Решение. Ток, по определению,

$$I=\frac{q}{t}=\frac{Ne}{t}$$

Тогда число электронов

$$N=\frac{It}{e}$$

А их масса

$$m=m_e N=\frac{It m_e}{e}=\frac{10\cdot 3600\cdot 9,1\cdot 10^{-31}}{1,6\cdot 10^{-19}}=0,205\cdot 10^{-6}$$

Ответ: 0,205 мг

Задача 19.3.

Определить плотность тока $j$, текущего по мотку медной проволоки длиной $l = 10$ м, на который подано напряжение $U = 17$ мВ. Удельное сопротивление меди $\rho = 17$ нOм·м.

Решение.

$$j=\frac{I}{S}=\frac{U}{RS}=\frac{U}{\rho l}=\frac{17\cdot 10^{-3}}{17\cdot 10^{-9}\cdot 10}=10^5$$

Ответ: $j=10^5$ А/м$^2$.

Задача 19.4.

Плоский конденсатор с пластинами квадратной формы со стороной $а = 21$ см и расстоянием между пластинами $d = 2$ мм присоединен к источнику напряжения $U = 750$ В. В пространство между пластинами с постоянной скоростью $\upsilon=8$ см/с вдвигают стеклянную пластинку толщиной $d=2$ мм. Какой ток $I$ пойдет при этом по цепи? Диэлектрическая проницаемость стекла $\varepsilon=7$.

Решение. Емкость конденсатора меняется с $C_1$ до $C_2$:

$$C_1=\frac{\varepsilon_0 S}{d}$$

$$C_2=\frac{\varepsilon\varepsilon_0 S}{d}$$

Заряд меняется тоже:

$$q_1=C_1U$$

$$q_2=C_2U$$

Ток в цепи будет таким:

$$I=\frac{\Delta q}{t}=\frac{q_2-q_1}{t}=\frac{U(C_2-C_1}{t}=\frac{\varepsilon_0S(\varepsilon-1)U}{dt}=\frac{6\varepsilon_0 S U}{d t}$$

$$I=\frac{6\cdot 8,85\cdot 10^{-12}\cdot 0,21^2\cdot 750}{0,002\cdot\frac{21}{8}}=0,335\cdot 10^{-6}$$

Ответ: $I=0,335$ мкА

Задача 19.5.

Какова напряженность $Е$ электрического поля и алюминиевом проводе сечением $S = 1,4$ мм$^2$ при силе тока $I = 1$ А? Удельное сопротивление алюминия $\rho= 2,8\cdot 10^{-8}$ Oм·м.

Решение. Напряженность можно записать как

$$E=\frac{U}{l}=\frac{IR}{l}=\frac{I\rho l}{Sl}=\frac{I\rho}{S}=\frac{2,8\cdot 10^{-8}}{1,4\cdot 10^{-6}}=0,02$$

Ответ: 0,02 В/м.

Задача 19.6.

Определить сопротивление $R$ мотка стальной проволоки диаметром $d = 1$ мм и массой $m = 300$ г. Удельное сопротивление стали $\rho = 1,5\cdot10^{-7}$ Oм·м, плотность стали $\rho_0 = 7,8\cdot 10^3$ кг/м$^3$.

Решение. По известной формуле

$$R=\rho\frac{l}{S}$$

Масса проволоки

$$m=\rho_0V=\rho_0 S l$$

Подставим $l$:

$$R=\rho\frac{m}{\rho_0 S^2}=\rho\frac{16m}{\rho_0 \pi^2 d^4}=1,5\cdot10^{-7}\cdot\frac{16\cdot 0,3}{7,8\cdot 10^3\cdot \pi^2 \cdot 0,001^4}=9,35$$

Ответ: $R=9$ Ом

Задача 19.7.

Определить силу тока, создаваемого электроном, движущимся по круговой орбите радиуса $r = 0,05$ нм в атоме водорода.

Решение. По определению

$$I=\frac{q}{t}=\frac{e}{\frac{2\pi r}{\upsilon}}=\frac{\upsilon e}{2\pi r}$$

Определим скорость электрона:

$$ma_n=F_q$$

$$\frac{m\upsilon^2}{r}=\frac{ke^2}{r^2}$$

$$ m\upsilon^2=\frac{ke^2}{r}$$

$$\upsilon=e\sqrt{\frac{k}{rm}}$$

Подставим в ток:

$$I=\frac{\sqrt{k} e^2}{2\pi r\sqrt{rm}}=\frac{3\cdot 10^4\sqrt{10}\cdot 1,6^2\cdot 10^{-38}}{2\cdot \pi\cdot 0,05\cdot 10^{-9}\sqrt{9,1\cdot 10^{-31}\cdot0,05\cdot 10^{-9}} }=114,6\cdot 10^{-5}=1,1\cdot 10^{-3}$$

Ответ: 1,1 мА