Пара интересных задач на диполи из курса Сириуса

Задача 1.

Два диполя с моментами $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$ находятся на большом расстоянии друг от друга. Диполь $\vec{p_1}$ закреплён так, что его ось составляет угол $\frac{\pi}{3}$ с прямой, соединяющей центры диполей. Диполь $\vec{p_2}$ может, подобно магнитной стрелке, свободно вращаться вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка. Под каким углом $\alpha$ установится ось второго диполя в равновесии? Ответ выразите в радианах, округлив до сотых.

Рисунок к первой задаче

Решение. Диполь $\vec{p_1}$ можно заменить двумя другими, суперпозиция которых даст исходный:

Суперпозиция диполей

Тогда

$$p_x= \frac{1}{2}p_1$$

$$p_y=\frac{\sqrt{3}}{2}p_1$$

Первый, в направлении, соосном ему самому, создаст напряженность

$$E_x=\frac{2kp_x}{r^3}=\frac{kp_1}{r^3}$$

Второй вертикально расположен, он создаст напряженность

$$E_y=\frac{kp_y}{r^3}=\frac{\sqrt{3}kp_1}{2r^3}$$

Второй диполь расположится вдоль результирующего вектора напряженности, то есть векторной суммы указанных векторов. Ее мы искать не будем, а найдем угол как

$$\operatorname{arctg} \frac{p_y}{p_x}=\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{2}=40,89^{\circ}$$

В радианах это $0,71$.

Ответ: 0,71

Задача 2.

Точечный диполь с моментом $p=100$ пКл$\cdot$м, двигаясь с постоянной скоростью $\upsilon=1$ м/с, попадает во внешнее электрическое поле, напряжённость которого зависит от координаты $x$ по закону $E(x)=200$ В/м$^2 \cdot x$. Через какое время после попадания во внешнее поле скорость диполя увеличится вдвое, если масса диполя равна $m=1$ мг? Ответ выразите в с, округлив до целого числа.

Рисунок к задаче 2

Решение. На оба заряда диполя будет действовать кулонова сила. Причем на положительный заряд она действует вправо, а на отрицательный – влево. И, так как положительный заряд всегда правее, то есть его координата больше, то $qE_1>qE_2$. Результирующей будет сила

$$F_{rez}=q(E_1-E_2)=200q(x_1-x_2)=200qd=200p$$

Так как

$$ma= F_{rez}=200p$$

То

$$a=\frac{200p}{m}=\frac{200\cdot 100\cdot 10^{-12}}{1\cdot10^{-6}}=0,02$$

Теперь применим кинематическую формулу для определения скорости:

$$\upsilon_k=\upsilon_0+at$$

$$t=\frac{\upsilon_k-\upsilon_0}{a}=\frac{1}{0,02}=50$$

Ответ: 50 с.