Метод изображений: заземленные шары. Задачи Сириуса.

Рассмотрим два заряда: положительный $q_1$ и отрицательный $-q_2$. Исследуем поверхность нулевого потенциала, возникающую окрест этих зарядов. Пусть на этой поверхности лежит точка А, и расстояние от этой точки до первого заряда $r_1$, а до второго - $r_2$. Для нее

$$\frac{kq_1}{r_1}=\frac{kq_2}{r_2}$$

Или

$$\frac{r_1}{r_2}=\frac{q_1}{q_2}$$

Геометрическим местом точек на плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек есть величина постоянная – это окружность Аполлония. А в пространстве – сфера Аполлония, потому что картинку можно поворачивать вокруг оси $q_1-q_2$.

Окружность и сфера Аполлония

Пусть радиус этой сферы $R$, и заряд $q_1$ находится на расстоянии $L$ от центра окружности (известном), а заряд $-q_2$ - на расстоянии $x$ (неизвестном).  Выразим $x$ через $L$ и $R$, и $q_2$ - через $q_1$.

Заряд - изображение

Расстояние $q_1-A$ равно $L-R$, $q_2-A$  - $R-x$, расстояние $q_1-B$ - $L+R$, а расстояние $q_2-B$ - $R+x$. Тогда для потенциалов точек $A$ и $B$ (известных, нулевых) справедливо

$$\frac{kq_1}{L-R}-\frac{kq_2}{R-x}=0$$

И

$$\frac{kq_1}{L+R}-\frac{kq_2}{R+x}=0$$

Делим друг на друга эти уравнения:

$$\frac{L+R}{L-R}=\frac{R+x}{R-x}$$

$$LR-Lx+R^2-Rx=LR+Lx-R^2-Rx$$

$$2Lx=2R^2$$

$$x=\frac{R^2}{L}$$

Определяем второй заряд (выражаем через первый):

$$\frac{q_1}{L-R}=\frac{q_2}{R-x}$$

$$q_2=\frac{R-x}{L-R}q_1$$

$$q_2=\frac{R-\frac{R^2}{L}}{L-R}q_1$$

$$q_2=\frac{RL-R^2}{L(L-R)}q_1$$

$$q_2=\frac{R}{L}q_1$$

Задача 1.

Точечный заряд $q$ находится на расстоянии $L$ от центра заземлённой сферы с радиусом $R$. Пусть ось $OX$ проходит через центр сферы и точечный заряд $q$, ось $OY$ перпендикулярна оси $OX$, начало координат совпадает с центром сферы. Точечный заряд $q$ расположен в точке с координатами $(L,0)$. Найдите потенциал в точке с координатами $(0,L)$, если $q=1$ нКл, $L=20$ см, $R=10$ см. Ответ выразите в В, округлив до десятых. Найдите поверхностную плотность заряда в точке с координатами $(−R,0)$. Ответ выразите в нКл/м$^2$, округлив до сотых.

Рисунок к задаче 1

Решение. Сначала найдем заряд-изображение внутри сферы, какой он и где расположен.

$$q_x=-q\frac{R}{L}=-\frac{10}{20}q=-0,5q$$

Итак, $q_x=-0,5$ нКл. Определим расстояние $x$, отделяющее его от центра сферы:

$$x=\frac{R^2}{L}=\frac{0,01}{0,2}=0,05$$

Потенциал в точке $(0,L)$ создают оба эти заряда, как оригинал, так и изображение:

$$\varphi=\frac{kq}{L\sqrt{2}}+\frac{kq_x}{\sqrt{x^2+L^2}}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 10^{-9}}{0,2\sqrt{2}}-\frac{9\cdot 10^9\cdot 0,5\cdot 10^{-9} }{\sqrt{0,05^2+0,2^2}}=9,99$$

Потенциал указанной точки равен 10 В. Определим поверхностную плотность.

$$\sigma=\varepsilon_0 E$$

$$\sigma=\varepsilon_0\left(\frac{kq}{(R+L)^2}-\frac{kq_x}{(R+x)^2}\right)$$

$$\sigma=8,85\cdot 10^{-12}\cdot 9\cdot 10^9\cdot 10^{-9}\left(\frac{1}{(0,1+0,2)^2}-\frac{0,5}{(0,1+0,05)^2}\right)=-0,885\cdot 10^{-9}$$

Поверхностная плотность в требуемых единицах равна $-0,89$. Но этот ответ не был принят курсами «Сириуса». Был принят ответ $-0,88$.

Задача 2.

Пусть в условиях предыдущей задачи $q=1$ нКл, $L=10$ см, $R=20$ см. Чему равен заряд сферы? Ответ выразите в нКл, округлив до десятых. Найдите также силу, действующую на точечный заряд $q$. Ответ выразите в нН, округлив до целого числа. Найдите значение напряжённости электрического поля в точке с координатами $(0,0)$. Ответ выразите в кВ/м, округлив до сотых. Найдите поверхностную плотность заряда в точке с координатами $(R,0)$. Ответ выразите в нКл/м$^2$, округлив до целого числа.

Рисунок к задаче 2

Решение. На сфере будет индуцирован заряд $-q$, так как ее потенциал – ноль.

В этом случае заряд $q$ оказывается внутри сферы. Определим расстояние от центра сферы до заряда-изображения.

$$x=\frac{R^2}{L}=\frac{0,04}{0,1}=0,4$$

Потенциал сферы равен нулю, значит,

$$\varphi=\frac{kq}{R}-\frac{kq_x}{4L}=0$$

$$\frac{q}{R}-\frac{q_x}{2R}=0$$

$$q_x=2q$$

Это мы нашли величину заряда-изображения. Он отрицателен (об этом говорит минус в выражении выше). Определим силу:

$$F=\frac{kq\cdot 2q}{(3L)^2}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 10^{-18}\cdot 2}{0,09}=200\cdot 10^{-9}$$

Определяем напряженность поля в точке с координатами $(0,0)$. Векторы напряженностей здесь будут направлены в разные стороны –от положительного заряда влево, а от отрицательного -  вправо – и должны вычитаться:

$$E_{(0,0)}=\frac{kq}{L^2}-\frac{2kq}{(4L)^2}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 10^{-9}}{0,1^2}\left(1-\frac{2}{0,16}\right)=787,5$$

Наконец, найдем требуемую поверхностную плотность заряда. Для этого сначала определим напряженность поля в точке с координатами $(R,0)$. Векторы напряженностей здесь будут направлены в одну строну – вправо – и должны быть сложены:

$$E_{(R,0)}=\frac{kq}{L^2}+\frac{2kq}{(2L)^2}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 10^{-9}}{0,1^2}\left(1+\frac{2}{4}\right)=1350$$

$$\sigma=\varepsilon_0 E$$

$$\sigma=-8,85\cdot 10^{-12}\cdot 1350=-11,948\cdot 10^{-9}$$

Ответ: заряд сферы - $-1$ нКл; сила $F=200$ нН; напряженность поля $E_{(0,0)}=0,79$ кВ/м; поверхностная плотность $\sigma=-12$ нКл/м$^2$.