Метод изображений: заряды и плоскость. Задачи Сириуса

Задача 1. Точечный заряд $q=1$ нКл находится на расстоянии $a=1$ м от бесконечной металлической плоскости. Найдите поверхностную плотность индуцированного заряда на плоскости в точке, расположенной на расстоянии $l=2$ м от точечного заряда. Ответ выразите в нКл/м$^2$, округлив до сотых.

Решение. Определим поверхностную плотность как

$$\sigma=-\varepsilon_0 E_0$$

Минус – так как на плоскости индуцируются отрицательные заряды. $E_0$ - напряженность поля, создаваемая в указанной точке самим зарядом и его зарядом-изображением.

Рисунок к задаче 1

Определим напряженность поля самого заряда:

$$E=\frac{kq}{l^2}=\frac{9}{4}=2,25$$

Вектор ее показан на рисунке. Такую же напряженность создаст и заряд-изображение, ее вектор обозначен $E^{‘}$. Напряженность $E_0$ - векторная сумма $E$ и $E^{‘}$. Углы на рисунке легко определяются. Векторная сумма напряженностей:

$$E_0=2\cdot E\cdot \cos 60^{\circ}=2\cdot 2,25\cdot \frac{1}{2}=2,25$$

Тогда поверхностная плотность

$$\sigma=-\varepsilon_0 E_0=-8,85\cdot 10^{-12}\cdot 2,25=-19,91\cdot 10^{-12}=-0,02\cdot 10^{-9}$$

Ответ: $-0,02$ нКл/м$^2$

Задача 2.

Непроводящий стержень длиной $L=10$ см имеет два одинаковых точечных заряда $Q=1$ нКл на своих концах и расположен перпендикулярно бесконечной металлической плоскости. Расстояние от плоскости до ближайшего к ней конца стержня равно $2L$. Определите силу, действующую на стержень с зарядами со стороны плоскости. Ответ выразите в нН, округлив до целого числа.

Решение.  Каждый конец стержня будет иметь заряд – изображение. Заряды-изображения отрицательны. Я пронумеровала заряды. Надо записать силы Кулона, действующие на заряды 1 и 2 со стороны всех остальных – будем помечать их соответствующими индексами, например, $F_{12}$ - сила на первый заряд со стороны второго. Силы, направленные вниз, положительны, вверх – отрицательны:

$$F_{12}=-\frac{kQ^2}{L^2}$$

$$F_{13}=\frac{kQ^2}{25L^2}$$

$$F_{14}=\frac{kQ^2}{36L^2}$$

$$F_{21}=\frac{kQ^2}{L^2}$$

$$F_{23}=\frac{kQ^2}{4L^2}$$

$$F_{24}=\frac{kQ^2}{25L^2}$$

Сумма сил на первый заряд $F_1$ отрицательна (направлена вверх)

$$F_1= F_{12}+ F_{13}+ F_{14}=-\frac{kQ^2}{L^2}+\frac{kQ^2}{25L^2}+\frac{kQ^2}{36L^2}$$

Я специально не делаю сложение – в надежде, что в конце что-нибудь сократится и вычислительной работы будет меньше).

Сумма сил на второй заряд $F_2$ положительна (направлена вниз)

$$F_2= F_{21}+ F_{23}+ F_{24}=\frac{kQ^2}{L^2}+\frac{kQ^2}{16L^2}+\frac{kQ^2}{25L^2}$$

Получается, силы, действующие на концы стержня, его растягивают, а значит, нам надо их сложить, чтобы дать ответ на задачу:

$$F_1+F_2=-\frac{kQ^2}{L^2}+\frac{kQ^2}{25L^2}+\frac{kQ^2}{36L^2}+\frac{kQ^2}{L^2}+\frac{kQ^2}{16L^2}+\frac{kQ^2}{25L^2}=\frac{2kQ^2}{25L^2}+\frac{kQ^2}{36L^2}+\frac{kQ^2}{16L^2}$$

$$ F_1+F_2=\frac{kQ^2}{L^2}\left(\frac{2}{25}+\frac{1}{16}+\frac{1}{36}\right)$$

$$ F_1+F_2=\frac{9\cdot 10^9\cdot 10^{-18}}{0,1^2}\left(\frac{2}{25}+\frac{1}{16}+\frac{1}{36}\right)=153,25\cdot 10^{-9}$$

Ответ: 153 нН.

Задача 3.

Точечные заряды $q_1=1$ нКл и $q_2=2$ нКл находятся на расстоянии $2d=10$ см друг от друга. Посередине между ними ставится бесконечная плоскопараллельная металлическая пластина так, что нормаль к плоскостям пластины параллельна линии, соединяющей заряды. Толщина пластины равна $d$. Определите силы, действующие на заряды. Ответы выразите в мкН, округлив до десятых.

Решение.

Рисунок к задаче 3

Каждый из зарядов создаст заряд-изображение и будет притягиваться к нему.

$$F_1=\frac{kq_1^2}{d^2}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 10^{-18}}{0,05^2}=3600\cdot 10^{-9}=3,6\cdot 10^{-6}$$

$$F_2=\frac{kq_2^2}{d^2}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 4\cdot 10^{-18}}{0,05^2}=14400\cdot 10^{-9}=14,4\cdot 10^{-6}$$

Ответ: $ F_1=3,6$ мкН, $F_2=14,4$ мкН.