Метод изображений: незаряженный проводящий шар и точечный заряд. Задачи от Сириуса

Задача 1.

Точечный заряд $q$ находится на расстоянии $L$ от центра проводящей сферы радиуса $R$, имеющей заряд $Q$. Пусть $q=1$ нКл, $L=20$ см, $R=10$ см. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k=9\cdot 10^9$ Н$\cdot$м$^2$/Кл$^2$. Найдите силу, действующую на заряд $q$, если сфера не заряжена ($Q=0$). Ответ выразите в нН, округлив до десятых. Пусть затем сфера заряжена до заряда $Q=2$ нКл. Найдите силу, действующую на заряд $q$. Ответ выразите в нН, округлив до десятых.

Решение. Рассмотрим суперпозицию двух задач. В первой задаче сфера заземлена, и имеет потенциал ноль. Так как рядом с ней находится точечный заряд $q$, то на сферу натечет заряд $q_1$, распределится на ней неравномерно, и поле этого заряда $q_1$ вкупе с полем заряда $q$ вне сферы дадут потенциал ноль в любой точке сферы. Из условия равенства потенциала нулю находим, что

$$\varphi=\frac{kq}{L}+\frac{kq_1}{R}=0$$

$$q_1=-q\frac{R}{L}$$

Этот заряд можно заменить зарядом-изображением $q_1$ внутри сферы на расстоянии $x=\frac{R^2}{L}$ от центра.

Но на самом-то деле наша сфера не заряжена! Поэтому второй задачей в нашей суперпозиции двух задач будет такая: сфера с зарядом $q_2= q\frac{R}{L}$, расположенным равномерно по ее поверхности. Этот заряд компенсирует заряд $q_1$, в результате чего при наложении двух картин получим нулевой заряд на сфере.

Рисунки к задаче 1

В нашей задаче $q_1=-0,5q$, $q_2=0,5q$. При поиске сил, действующих на заряд $q$, мы будем искать силу на него со стороны заряда-изображения $q_1$ (напомню, он расположен на расстоянии $x=\frac{R^2}{L}=0,05$ м от центра сферы), и со стороны заряда $q_2$, а его следует расположить в центре сферы, тогда его поле будет таким же, как если б он был равномерно размазан по поверхности сферы. Сила $F_a$ на заряд $q$ - сумма сил со стороны зарядов $q_1$ и $q_2$. Причем заряд $q_1$ отрицательный – он будет притягивать заряд $q$ с силой $F_1$, а заряд $q_2$ положительный, он будет отталкивать заряд $q$ с силой $F_2$ (показано на рисунке).

$$F_a=F_1-F_2=\frac{kq\cdot 0,5q}{(L-x)^2}-\frac{kq\cdot 0,5q}{L^2}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 0,5\cdot 10^{-18}}{0,15^2}-\frac{9\cdot10^9\cdot 0,5\cdot 10^{-18}}{0,2^2}=(200-112,5)\cdot 10^{-9}=87,5\cdot 10^{-9}$$

Ответ на первую часть задачи – 87,5 нН.

Теперь, если сфера имеет заряд $Q=2$ нКл, то его также необходимо расположить в центре. Тогда получим:

$$F_b=F_1-F_2=\frac{kq\cdot 0,5q}{(L-x)^2}-\frac{kq\cdot 2,5q}{L^2}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 0,5\cdot 10^{-18}}{0,15^2}-\frac{9\cdot10^9\cdot 2,5\cdot 10^{-18}}{0,2^2}=(200-562,5)\cdot 10^{-9}=-362,5\cdot 10^{-9}$$

Ответ при заряженной сфере – 362,5 нН.

Задача 2.

Пусть в условиях предыдущей задачи $q=1$ нКл, $L=10$ см, $R=20$ см. Найдите силу, действующую на заряд $q$, если сфера не заряжена ($Q=0$). Ответ выразите в нН, округлив до десятых.

Пусть затем сфера заряжена до заряда $Q=2$ нКл. Найдите силу, действующую на заряд $q$. Ответ выразите в нН, округлив до десятых.

Решение. Здесь, аналогично предыдущей задаче, также накладываем две картины. Сначала сфера заземлена, ее потенциал ноль. Понятно, что на ее поверхность натечет заряд $q_1$, обеспечивающий нулевой потенциал. Он распределен неравномерно, как и в предыдущем случае. Преимущественно ближе к заряду $q$. Его можно заменить зарядом-изображением.

Только заряд – изображение вне сферы, на расстоянии от центра сферы $x$:

$$x=\frac{R^2}{L}=0,4$$

Значит, от заряда $q$ на расстоянии $3L=0,3$ м.

И он равен

$$\varphi=\frac{kq}{L}+\frac{kq_1}{R}=0$$

$$q_1=-q\frac{R}{L}=-2q$$

Вторая картина – сфера равномерно заряжена зарядом $q_2=2q$ (он компенсирует заряд $q_1$, так как сфера зарядом на самом деле не обладает).

Тогда  на заряд  $q$ будет действовать сила со стороны заряда $q_1$ - он притягивает заряд $q$. Но поле внутри сферы и снаружи – две большие разницы. Поле внутри «не знает» про поле снаружи.  Поэтому в обоих случаях – и при заряженной сфере, и при незаряженной – сила одна и та же:

$$F_a=\frac{kq\cdot 2q}{9L^2}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 2\cdot 10^{-18}}{9\cdot 0,1^2}=200\cdot 10^{-9}$$

Ответ: 200 нН