Теорема взаимности: задачки Сириуса

Задача 1.

Имеется система проводников, которые все, кроме i-го, заземлены, а i-й проводник имеет потенциал 12 В. В некоторой точке A системы потенциал равен 4 В. Определите заряд, индуцируемый на i-м проводнике, если все проводники заземлить, а в точку A поместить заряд 90 нКл. Ответ выразите в нКл, округлив до целого числа.

Решение. По теореме взаимности, если в системе из $n$ проводников проводники, несущие заряды $q_1, q_2, \ldots q_n$, имеют потенциалы $\varphi_1, \varphi_2, \ldots \varphi_n$ соответственно, а при зарядах $q_1^{‘}, q_2^{‘}, \ldots q_n^{‘}$ потенциалы проводников равны $\varphi_1^{‘}, \varphi_2^{‘}, \ldots \varphi_n^{‘}$ , то справедливо равенство:

$$\sum^{n}_{i=1} {q_i\cdot \varphi_i^{‘}}=\sum^{n}_{i=1} {q_i^{‘}\cdot \varphi_i}$$

Поэтому, так как все потенциалы равны нулю, то сумма

$$\varphi_i\cdot q_A+\varphi_A\cdot q_i=0$$

$$12\cdot 90+4\cdot q_i=0$$

Откуда $q_i=-30$ нКл.

Ответ: -30 нКл.

Задача 2.

В полости проводника A, потенциал которого равен 40 В, находится проводник B. Потенциал проводника B равен 20 В, а потенциал точки M, находящейся между внешней поверхностью проводника B и внутренней поверхностью проводника A, равен 28 В. Проводники заземлили, а в точку M поместили заряд 50 нКл. Определите заряд, индуцированный на проводниках А и B. Ответ выразите в нКл, округлив до целого числа.

Решение. Разность потенциалов между проводником А и точкой М  - 12 В, а между проводником В и точкой М – 8 В. Поэтому на проводнике А индуцируется отрицательный заряд -20 нКл, а на проводнике В – отрицательный заряд  -30 нКл (заряды в сумме дают 50 нКл по модулю, а относятся обратно разности потенциалов – по теореме взаимности).

Ответ: $q_A=-20$ нКл, $q_B=-30$ нКл.

Задача 3.

Из двух концентрических сферических проводников, радиусы которых равны 20 см и 60 см, внутренний заземлён, а внешний имеет заряд 300 нКл. Найдите заряд, наведённый на внутренней сфере. Ответ выразите в нКл, округлив до целого числа.

Решение. Потенциал внутреннего проводника нулевой. Так и запишем:

$$0=\frac{kq_1}{r}+\frac{kq_2}{3r}$$

Откуда

$$3q_1=-q_2$$

$$q_1=-100$$

Ответ: -100 нКл

Задача 4.

Точечный заряд 50 нКл находится на расстоянии 20 см и 30 см от проводящих заземлённых бесконечных плоскостей. Найдите заряды, наведённые на этих плоскостях. Ответы выразите в нКл, округлив до целого числа.

Решение. На плоскости, расположенной в 30 см от заряда, наведется отрицательный заряд -20 нКл, а на плоскости поближе – заряд -30 нКл.

Ответ: -20 нКл и -30 нКл.