Теорема Гаусса: задачи Сириуса - 2

Задача 1.

Два соосных бесконечно длинных цилиндра радиусами $R$ и $3R$ заряжены равномерно по поверхности с поверхностными плотностями $\sigma$ и $2\sigma$ ($\sigma>0$) соответственно. Чему равен модуль напряжённости электрического поля в точке, расположенной на расстоянии $2R$ от оси цилиндров? Чему равен модуль напряжённости электрического поля в точке, расположенной на расстоянии $4R$ от оси цилиндров? Ответ выразите в единицах $\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$, округлите до сотых.

Решение. Определим заряд, заключенный внутри поверхности радиусом $2R$:

$$q= \sigma \cdot  2\pi \cdot R h $$

Определим заряд, заключенный внутри поверхности радиусом $4R$:

$$Q= 2\sigma \cdot  2\pi \cdot 3R h $$

Определяем напряженность поля в первой точке:

$$E_A=\frac{\Phi_A}{S_{mal}}=\frac{q}{\varepsilon_0 S_{mal}}=\frac{\sigma \cdot  2\pi \cdot R h }{\varepsilon_0\cdot 2\pi \cdot 2R h}=\frac{\sigma }{2\varepsilon_0}$$

Определяем напряженность поля в точке вне цилиндров (внутри находится заряд обоих цилиндров!):

$$E_B=\frac{\Phi_B}{S_{bol}}=\frac{Q+q}{\varepsilon_0 S_{bol}}=\frac{14\sigma \cdot  \pi \cdot R h }{\varepsilon_0 \cdot 2\pi \cdot 4R h }=\frac{7\sigma }{4\varepsilon_0}$$

Ответ: $E_A=0,5\frac{\sigma }{\varepsilon_0}$ - на расстоянии $2R$ от оси; $E_B=1,75\frac{\sigma }{\varepsilon_0}$ - на расстоянии $4R$ от оси.

Задача 2.

Бесконечно длинный цилиндрический слой, внутренний радиус которого равен $R$, а внешний — $3R$, заряжен равномерно по объёму с объёмной плотностью $\rho>0$. Найдите модуль напряжённости электрического поля в точке A, расположенной на расстоянии $2R$ от оси цилиндрического слоя. Ответ выразите в единицах $\frac{\rho R}{\varepsilon_0}$, округлите до сотых.

Решение. Определим внешний объем – объем целого цилиндра:

$$V_{bol}=\pi (3R)^2 H=9\pi R^2 H$$

Определим внутренний объем (полости):

$$V_{vnut}=\pi (R)^2 H$$

Определим объем, заключенный внутри поверхности радиусом $2R$:

$$V_{sred}=\pi (2R)^2 H=4\pi R^2 H$$

Определим заряд, заключенный внутри поверхности радиусом $2R$:

$$q= \left(V_{sred}- V_{vnut}\right)\cdot \rho=3\rho \pi R^2 H$$

Определяем напряженность поля:

$$E=\frac{\Phi}{S}=\frac{3\rho \pi R^2 H}{\varepsilon_0\cdot 2\pi \cdot 2RH}=\frac{3}{4}\frac{\rho R}{\varepsilon_0}$$

Ответ: 0,75

Задача 3.

Вектор напряжённости электрического поля $E$ внутри положительно заряженного шара радиусом $2R$ направлен вдоль радиуса и не меняется по модулю. Найдите объёмную плотность электрического заряда на расстоянии $R$ от центра. Ответ выразите в единицах $\frac{\rho R}{\varepsilon_0}$, округлите до десятых.

Решение. Определим внешний объем – объем целого шара:

$$V_{bol}=\frac{4}{3}\pi (2R)^3=\frac{32}{3}\pi R^3$$

Определим объем, заключенный внутри поверхности радиусом $R$:

$$V_{mal}=\frac{4}{3}\pi (R)^3=\frac{4}{3}\pi R^3$$

Определяем напряженность поля на расстоянии $R$:

$$E_1=\frac{\Phi_1}{S_{mal}}=\frac{\frac{4}{3} \rho \pi R^3}{\varepsilon_0\cdot 4\pi \cdot (R)^2}=\frac{1}{3}\frac{\rho R}{\varepsilon_0}$$

Определяем напряженность поля на расстоянии $2R$:

$$E_2=\frac{\Phi_2}{S_{bol}}=\frac{\frac{32}{3} \rho_{vne} \pi R^3}{\varepsilon_0\cdot 4\pi \cdot (2R)^2}=\frac{2}{3}\frac{\rho_{vne} R}{\varepsilon_0}$$

Определяем отношение напряженностей:

$$\frac{E_1}{E_2}=1$$

Откуда

$$\rho=2\rho_{vne}$$

Ответ: 2

Задача 4.

В зонах «хорошей» погоды, например, над океаном, где в воздухе отсутствуют источники сильной ионизации или скопления аэрозолей, напряжённость электрического поля у поверхности Земли направлена вертикально вниз и равна 130 В/м, а на высоте 500 м над поверхностью уменьшается примерно в два раза. Определите среднюю объёмную плотность заряда в воздухе вблизи поверхности Земли. Ответ выразите в мКл/км$^3$, округлите до десятых. Электрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85\cdot 10^{−12}$ Кл$^2$/(Н$\cdot$м$^2$).

Решение. Как определить объемную плотность? Надо заряд разделить на объем. Поскольку 500 м по сравнению с радиусом Земли – мелочь, то запишем объем как

$$V=4\pi R^2h$$

Заряд найдем через напряженность.

$$E=\frac{kq}{R^2}$$

$$ q= \frac{ER^2}{k}$$

Тут надо разобраться с напряженностями. Напряженность у поверхности, обусловленная зарядами «внутри» Земли:

$$E_1=\frac{kQ}{R^2}$$

Напряженность на высоте $h$, обусловленная зарядами «внутри» и в воздухе:

$$E_2=\frac{kQ}{(R+h)^2}+\frac{kq}{(R+h)^2}$$

Как уже было выше сказано, слагаемые $\frac{kQ}{R^2}$ и $\frac{kQ}{(R+h)^2}$ - практически не отличаются, а нас интересует напряженность, создаваемая зарядами воздуха, то есть $\frac{kq}{(R+h)^2}\approx \frac{kq}{R^2}$, она получается как

$$E=\frac{kq}{R^2}=E_2-E_1$$

Вычисляем теперь плотность заряда:

$$\rho_{sr}=\frac{ q }{V}= \frac{ER^2}{k\cdot 4\pi R^2h }=\frac{E}{4\pi k h}=\frac{E\varepsilon_0}{h}=\frac{65\cdot 8,85\cdot 10^{−12} }{500}=1,15\cdot 10^{-12}$$

Это в Кл/м$^3$, в Кл/км$^3$ это $\rho_{sr}=1,15\cdot10^{-3}$, ну а ответ 1,2 мКл/км$^3$.