Теорема Гаусса: задачи Сириуса - 1

Задача 1.

Четыре точечных заряда $q_1=1$ мкКл, $q_2=−5$ мкКл, $q_3=4$ мкКл, $q_4=−2$ мкКл расположены так, как показано на рисунке. Расстояния от заряда $q_1$ до зарядов $q_2, q_3$ и $q_4$ равны $R$, $3R$ и $4R$ соответственно. Определите поток вектора напряжённости данной системы точечных зарядов через сферу радиусом $2R$, в центре которой располагается точечный заряд $q_1$. Выберите внешние нормали к сфере. Ответ дайте в $10^5$ В$\cdot$м, округлив до десятых. Электрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85\cdot 10^{−12}$ Кл$^2$/(Н$\cdot $м$^2$).

Рисунок к задаче 1

Решение. Поток в данном случае можно найти как

$$\Phi=\frac{q}{\varepsilon_0}$$

Где $q$ - заряд внутри выбранной гауссовой поверхности. Внутри сферы радиусом $2R$ находятся заряды $q_1$ и $q_2$. Их общий суммарный заряд $q=-4$ мкКл.

$$\Phi=\frac{-4\cdot 10^{-6}}{8,85\cdot 10^{−12} }=-0,45\cdot 10^6$$

Ответ: $\Phi=-4,5\cdot 10^5$ В$\cdot$м.

Задача 2.

Всё пространство между двумя параллельными плоскостями занимает заряд с постоянной положительной объёмной плотностью $\rho$. Расстояние между плоскостями равно $d$. Найдите модуль напряжённости электрического поля в точке, принадлежащей одной из плоскостей. Ответ выразите в единицах $\frac{\rho d}{\varepsilon_0}$, округлите до десятых.

Решение. Поток можно записать как $\Phi=\frac{q}{2\varepsilon_0}$, но также и как $\Phi=ES$. В первом случае учитываем то, то поток происходит через обе поверхности слоя (или через одну поверхность поток от половины заряда). Определим заряд:

$$q=\rho V=\rho d S$$

Приравняем оба потока, записанные по-разному:

$$ES=\frac{q}{2\varepsilon_0}=\frac{\rho d S }{\varepsilon_0}$$

Откуда

$$E=\frac{\rho d}{2\varepsilon_0}$$

Ответ: 0,5

Задача 3.

Два бесконечных равномерно заряженных по объёму плоских слоя толщиной $d$ сложены вместе, как показано на рисунке. Объёмная плотность заряда первого слоя равна $\rho>0$, а плотность второго отрицательна и равна $-\rho$. Чему равен модуль напряжённости электрического поля в точке A? Чему равен модуль напряжённости электрического поля в точке B? Ответ выразите в единицах $\frac{\rho d}{\varepsilon_0}$, округлите до десятых.

Рисунок к задаче 3

Решение. В точке $B$ оба слоя создадут напряженность $\frac{\rho d}{2\varepsilon_0}$, векторы сонаправлены: от положительного и к отрицательному, поэтому произойдет сложение напряженностей и итоговая

$$E_B=\frac{\rho d}{\varepsilon_0}$$

В точке А положительно заряженный слой создаст напряженность, направленную влево и равную $\frac{\rho d}{2\varepsilon_0}$, а отрицательно заряженный слой – напряженность $\frac{\rho d}{2\varepsilon_0}$, направленную вправо. В итоге

$$E_A=0$$

Задача 4.

Две концентрические сферы радиусами $R$ и $3R$ заряжены равномерно по поверхности с поверхностными плотностями $3\sigma$ и $\sigma$ ($\sigma>0$) соответственно. Чему равен модуль напряжённости электрического поля в точке, расположенной на расстоянии $2R$ от центра сфер? Чему равен модуль напряжённости электрического поля в точке, расположенной на расстоянии $5R$ от центра сфер?

Ответ выразите в единицах $\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$, округлите до сотых.

Решение. Определим заряды сфер. Площадь меньшей $4\pi R^2$, площадь большой $36 \pi R^2$, заряд малой

$$q=3\sigma\cdot 4\pi R^2=12\pi \sigma R^2$$

$$Q=\sigma \cdot 36\pi R^2=36\pi \sigma R^2$$

Первая точка находится между сфер, а вторая – вне. Для точки вне сфер можно пользоваться полем точечного заряда, потому как для нее оба поля – что сферы, что единичного заряда – идентичны. Тогда

$$E_2=\frac{\Phi}{S_{vnesh}}=\frac{(Q+q)}{\varepsilon_0 S_{vnesh}}=\frac{48\pi \sigma R^2}{\varepsilon_0 \cdot 4\pi 25R^2}=0,48\frac{\sigma} {\varepsilon_0}$$

Для точки внутри сфер поток создаст только внутренняя сфера:

$$E_1=\frac{\Phi_1}{S_{vnutr}}=\frac{q}{\varepsilon_0 S_{vnutr}}=\frac{12\pi \sigma R^2}{\varepsilon_0 \cdot 4\pi 4R^2}=0,75\frac{\sigma} {\varepsilon_0}$$

Ответ: на расстоянии $2R$ - $E_1=0,75\frac{\sigma }{\varepsilon_0}$, на расстоянии $5R$ - $ E_2=0,48\frac{\sigma} {\varepsilon_0}$.

Задача 5.

Шаровой слой, внутренний радиус которого равен $R$, а внешний — $3R$, заряжен равномерно по объёму. Найдите отношение модулей напряжённостей поля $\frac{E_A}{E_B}$ в точках A и B, где точка A расположена на расстоянии $3R$ от центра шарового слоя, а точка B — на расстоянии $2R$. Ответ округлите до сотых.

Решение. Определим внешний объем – объем целого шара:

$$V_{bol}=\frac{4}{3}\pi (3R)^3=36\pi R^3$$

Определим внутренний объем (полости):

$$V_{vnut}=\frac{4}{3}\pi (R)^3$$

Определим объем, заключенный внутри поверхности радиусом $2R$:

$$V_{sred}=\frac{4}{3}\pi (2R)^3=\frac{32}{3}\pi R^3$$

Определим заряд, заключенный внутри поверхности радиусом $2R$:

$$q= \left(V_{sred}- V_{vnut}\right)\cdot \rho=\frac{28}{3} \rho \pi R^3$$

Определяем напряженность поля:

$$E_B=\frac{\Phi_B}{S_{mal}}=\frac{\frac{28}{3} \rho \pi R^3}{\varepsilon_0\cdot 4\pi \cdot (2R)^2}=\frac{7}{12}\frac{\rho R}{\varepsilon_0}$$

Определим заряд, заключенный внутри поверхности радиусом $3R$:

$$Q= \left(V_{bol}- V_{vnut}\right)\cdot \rho=\frac{104}{3} \rho \pi R^3$$

Определяем напряженность поля:

$$E_A=\frac{\Phi_A}{S_{bol}}=\frac{\frac{104}{3} \rho \pi R^3}{\varepsilon_0\cdot 4\pi \cdot (3R)^2}=\frac{26}{27}\frac{\rho R}{\varepsilon_0}$$

Определяем отношение напряженностей:

$$\frac{E_A}{E_B}=\frac{26}{27}\cdot \frac{12}{7}=\frac{104}{63}=1,65$$

Ответ: 1,65