Теорема Гаусса - 1

Прежде чем смотреть решения задач, изучите теорию и постарайтесь решить сами. Потому что в этой теме главное - набить руку.

Задача 1.

Используя теорему Гаусса, определите напряжённость электрического поля: -внутри и вне равномерно заряженной сферы, если полный заряд сферы $Q$; -равномерно заряженной бесконечной нити, если заряд единицы длины нити $\lambda$; -равномерно заряженной бесконечной плоскости, если поверхностная плотность заряда плоскости $\sigma$; -внутри и вне равномерно заряженного шара радиуса $R$, если объёмная плотность заряда $\rho$; нарисуйте график зависимости напряжённости электрического поля от расстояния до центра шара; -внутри и вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса $R$, если объёмная плотность заряда внутри цилиндра равна $\rho$; нарисуйте график зависимости напряжённости электрического поля от расстояния до оси цилиндра; -вне и внутри равномерно заряженной бесконечной пластины толщины $h$, если объёмная плотность заряда в пластине равна $\rho$; нарисуйте график зависимости напряжённости электрического поля от расстояния до центральной плоскости пластины. Решение. Равномерно заряженная сфера. Поток вектора напряженности через поверхность сферы равен $$\Phi=E\cdot 4\pi r^2$$ Где $4\pi r^2$ - площадь сферы. По теореме Гаусса поток равен $$\Phi=\frac{q}{\varepsilon_0}$$ Причем $q$ - заряд внутри гауссовой поверхности. Для сферы наиболее удобно взять в качестве гауссовой поверхности также сферу. Если ее радиус больше радиуса $R$ ($r>R$), то все заряды оказываются внутри гауссовой поверхности и $$\frac{q}{\varepsilon_0}= E\cdot 4\pi r^2$$ $$E=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}=\frac{kq}{r^2}$$ То есть поле аналогично точечному заряду. Если радиус гауссовой сферы меньше $R$, то заряды оказываются все снаружи, поэтому заряд внутри – нулевой. $$E=0$$

Заряженная сфера

Бесконечная нить. Охватим нить гауссовой поверхностью в виде цилиндра. Причем поток будет проходить только через боковую поверхность цилиндра, а через торцы поток будет нулевым. Поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра равен $$\Phi=E\cdot 2\pi R l$$ Где $2\pi R l$ - площадь боковой поверхности цилиндра. По теореме Гаусса поток равен $$\Phi=\frac{q}{\varepsilon_0}$$ Причем $q=\lambda l$. Таким образом, $$ E\cdot 2\pi R l=\frac{\lambda l }{\varepsilon_0}$$ $$E=\frac{\lambda }{2\pi R \varepsilon_0}$$

Заряженная нить

Равномерно заряженная бесконечная плоскость. Вектор напряженности направлен от плоскости перпендикулярно ей. Выделим элемент плоскости. Если этот элемент двигать по плоскости вправо-влево, поток не изменится. Поэтому поток не зависит от расположения выделенного элемента. Значит, в качестве гауссовой поверхности возьмем цилиндр, ось которого совпадает с направлением вектора напряженности – то есть перпендикулярна плоскости. Поток через боковую поверхность цилиндра в данном случае равен нулю, то есть $$\Phi=2E\cdot \pi R^2$$ Где $\pi R^2$ - площадь основания цилиндра. По теореме Гаусса поток равен $$\Phi=\frac{q}{\varepsilon_0}$$ Причем $q=\sigma S=\sigma \pi R^2$. $$ 2E\cdot \pi R^2=\frac{\sigma \pi R^2 }{\varepsilon_0}$$ $$E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$ Равномерно заряженный шар. Он будет иметь заряд $$q=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$$ Поток вектора напряженности $$\Phi=E\cdot 4\pi r^2$$ Охватим шар гауссовой сферой, где $4\pi r^2$ - площадь ее поверхности . Если ее радиус больше радиуса шара ($r>R$), то весь заряд шара внутри этой поверхности и $$\Phi=\frac{q}{\varepsilon_0}$$ $$ E\cdot 4\pi r^2=\frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{\varepsilon_0}$$ $$ E=\rho \cdot \frac{R^3}{3\varepsilon_0 r^2} $$ Если радиус гауссовой сферы меньше радиуса шара ($r<R$), то внутри гауссовой сферы оказывается не весь заряд шара, а лишь его часть, пропорциональная объему: $$\frac{q_{vnutr}}{q}=\frac{V_{ vnutr }}{V}=\frac{r^3}{R^3}$$ Тогда $$ E\cdot 4\pi r^2=\frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 r^3}{R^3\varepsilon_0}$$ $$E=\frac{\rho  r}{3\varepsilon_0}$$

Заряженный шар

Бесконечный заряженный цилиндр. Охватим его гауссовой поверхностью в виде цилиндра. Через торцы цилиндра поток будет нулевым – они параллельны вектору напряженности. Через боковую поверхность радиуса $r$ $$\Phi=E\cdot 2\pi r l$$ По теореме Гаусса $$\Phi=\frac{q}{\varepsilon_0}$$ Где $q$ - заряд внутри. $$q=\rho \cdot \pi R^2l$$ Получаем $$ E\cdot 2\pi r l=\frac{\rho \cdot \pi R^2l }{\varepsilon_0}$$ $$E=\frac{\rho \cdot  R^2 }{2r\varepsilon_0}$$ Это снаружи цилиндра. А внутри? Там мы  тоже можем охватить какой-то объем гауссовым цилиндром, и заряд, который окажется внутри, будет пропорционален объему. $$\frac{q_{vnutr}}{q}=\frac{V_{ vnutr }}{V}=\frac{\pi r^2 l}{\pi R^2 l}=\frac{r^2}{R^2}$$ Тогда $$ q_{vnutr}=q\cdot \frac{r^2}{R^2}=\rho \pi l r^2$$ $$ E\cdot 2\pi r l=\frac{\rho \pi l r^2}{\varepsilon_0}$$ $$E=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}$$ Осталась бесконечная пластина толщиной $h$. Понятно, что снаружи, при $r>\frac{h}{2}$, поле пластины будет совпадать с полем заряженной плоскости: $$E=\frac{\sigma }{2\varepsilon_0}$$ Теперь определим поле внутри. Расстояние будем отсчитывать от центра, так что нам понадобится плоскость, разбивающая пластину на две толщиной $\frac{h}{2}$. Гауссовой поверхностью будет цилиндр, поток через его боковые стенки равен нулю – они параллельны вектору напряженности. А поток через основания равен $$\Phi=2E\cdot \pi R^2$$ С другой стороны, $$\Phi=\frac{q}{\varepsilon_0}$$ Где $q$ - заряд внутри. Поскольку мы находимся на расстоянии $r$ от центра пластины, заряд, оказавшийся внутри нашей гауссовой поверхности, может быть найден как $$\frac{q_{vnutr}}{q}=\frac{V_{ vnutr }}{V}=\frac{\pi R^2 r}{\pi R^2 \frac{h}{2}}=\frac{2r}{h}$$ $$q=\rho\cdot \pi R^2 h$$ $$q_{vnutr}=q\cdot \frac{2r}{h}=\rho\cdot \pi R^2 h\cdot \frac{2r}{h}=2\rho r \pi R^2$$ Таким образом, $$2E\cdot \pi R^2=\frac{2 \rho r \pi R^2}{\varepsilon_0}$$ $$E=\frac{\rho r}{\varepsilon_0}$$

Задача 2.

Точечный заряд $q$ находится в центре куба. Найти поток вектора напряженности электростатического поля через любую грань куба. Решение. Полный поток будет равен $$\Phi=\frac{q}{\varepsilon_0}$$ А так как это поток через все шесть граней, то через одну $$\Phi_1=\frac{q}{6\varepsilon_0}$$ Ответ: $\frac{q}{6\varepsilon_0}$

Задача 3.

Точечный заряд $q$ находится в вершине куба. Найти поток вектора напряженности электростатического поля через грань куба, не проходящую через заряд. Окружим данный куб еще семью, так, чтобы заряд оказался в самом центре конструкции:

К задаче 3

Тогда поток, создаваемый зарядом через один из восьми кубов, равен $$\Phi_1=\frac{q}{8\varepsilon_0}$$ А так как у каждого из восьми кубов конструкции только три грани обращены наружу, то через каждую грань поток будет равен $$\Phi=\frac{q}{24\varepsilon_0}$$ Ответ: $\Phi=\frac{q}{24\varepsilon_0}$

Задача 4.

В равномерно заряженной бесконечной пластине вырезали сферическую полость так, как показано на рисунке. Толщина пластины $h$, объёмная плотность заряда $\rho$. Чему равна напряжённость электрического поля в точке А? в точке В? Найдите зависимость напряжённости электрического поля вдоль прямой ОА от расстояния до точки $O$.

К задаче 4

Решение. Рассмотрим пластину (сплошную) и шар с объемной плотностью заряда $-\rho$. Мы уже находили поле заряженной пластины – см. задачу 1. Внутри пластины при $r=0$ напряженность поля будет равна нулю. Поэтому в точке $A$ напряженность будет создавать только шар. Снова обращаемся к задаче 1 и пишем напряженность поля на границе шара: $$ E=\rho \cdot \frac{R^3}{3\varepsilon_0 r^2} $$ Подставляя $R=r$, имеем $$ E_A= \frac{\rho R}{3\varepsilon_0} =\frac{\rho h}{6\varepsilon_0}$$ В точке $B$ произойдет суммирование векторов напряженностей, созданных плоскостью и шаром, а на деле они будут вычитаться: $$E_B=\frac{\rho r}{\varepsilon_0}-\frac{\rho h}{6\varepsilon_0}=\frac{\rho h}{2\varepsilon_0}-\frac{\rho h}{6\varepsilon_0}=\frac{\rho h}{3\varepsilon_0}$$ Ответ: $ E_A=\frac{\rho h}{6\varepsilon_0}$; $E_B=\frac{\rho h}{3\varepsilon_0}$.