Задачи с заряженными сферами (учебник Мякишева-Синякова)

Еще несколько задач на сферы. Задачи из разных источников, в основном – учебник Мякишева 10-11, упражнение 3.

Задача 1.

Три проводящие концентрические сферы имеют радиусы $R, 2R, 3R$ соответственно. Средняя сфера имеет заряд $+q$. В ней проделано отверстие, через которое тонкой проволочкой соединяют внешнюю и внутреннюю сферы. Определите заряд $q_1$ внешней сферы после соединения.

Решение: Потенциал внешней и внутренней сфер ПОСЛЕ соединения обязан быть одинаковым. Заряды внешней и внутренней сфер должны быть одинаковыми по модулю. Если заряд внешней сферы $q_1$, то заряд внутренней должен быть $-q_1$. Запишем потенциалы сфер ДО соединения. Для внутренней сферы (потенциал, связанный с имеющимся собственным зарядом, плюс два слагаемых, обусловленных нахождением внутренней сферы внутри двух других): $$\varphi_{1}=-\frac{kq_1}{R}+\frac{kq}{2R}+\frac{kq_1}{3R}$$ Для внешней сферы (внешняя сфера «не знает» о том, что внутри у нее что-то есть заряженное. Просто этот заряд, находящийся внутри, индуцирует на ее поверхности точно такой же): $$\varphi_{3}=-\frac{kq_1}{3R}+\frac{kq}{3R}+\frac{kq_1}{3R}$$ Преобразуем: $$\varphi_{3}=\frac{kq}{3R}$$ Как сказано было ранее, потенциалы сфер одинаковы после соединения: $$\varphi_{1}=\varphi_{3}$$ $$-\frac{kq_1}{R}+\frac{kq}{2R}+\frac{kq_1}{3R}=\frac{kq}{3R}$$ $$-\frac{kq_1}{R}+\frac{kq_1}{3R}=\frac{kq}{3R}-\frac{kq}{2R}$$ $$-\frac{2kq_1}{3R}=-\frac{kq}{6R}$$ $$\frac{2q_1}{3}=\frac{q}{6}$$ $$ q_1=\frac{q_1}{4}$$

Ответ: $ q_1=\frac{q_1}{4}$

Задача 2.

Две проводящие сферы заряжены так, что внутренняя имеет потенциал $\varphi_1$, а внешняя $\varphi_2$. Какой потенциал будет иметь внутренняя сфера, если обе сферы соединить проводником?

Решение: Запишем потенциалы сфер через заряды (ДО соединения). $$\varphi_1=\frac{kq_1}{R_1}+\frac{kq_2}{R_2}$$ $$\varphi_2=\frac{kq_1}{R_2}+\frac{kq_2}{R_2}$$ ПОСЛЕ соединения потенциалы сфер равны, а заряды, возможно, изменились. Но! Сумма зарядов осталась той же по закону сохранения заряда (куда ему деваться с подводной лодки?) $$q_1+q_2=q_1'+q_2'$$ Поэтому $$\frac{kq_1}{R_2}+\frac{kq_2}{R_2}=\frac{kq_1'}{R_2}+\frac{kq_2'}{R_2}=\varphi_2$$ А потенциал внутренней сферы равен потенциалу внешней! $$\varphi_1'=\varphi_2=\frac{kq_1}{R_2}+\frac{kq_2}{R_2}$$

Ответ: $\varphi_1'=\frac{kq_1}{R_2}+\frac{kq_2}{R_2}$

Задача 3.

Металлический шар радиусом $R_1 = 2$ см несет на себе заряд $q_1 = 4 \cdot 10^{-8}$ Кл. Шар окружен концентрической проводящей оболочкой радиусом $R_2 = 5$ см, заряд которой равен $q_2 = -4 \cdot 10^{-8}$ Кл. Определите потенциал поля $\varphi$ на расстоянии $L = 4$ см от центра шара.

Решение: 4 см от центра – это внутри оболочки. Потенциал в этой точке $$\varphi_1=\frac{kq_1}{L}+\frac{kq_2}{R_2}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 4 \cdot 10^{-8}}{0,04}-\frac{9\cdot 10^9\cdot 4 \cdot 10^{-8}}{0,05}=1800$$

Ответ: 1800 В.