Взаимодействие движущихся заряженных частиц

Задачи из разных источников, в основном – учебник Мякишева 10-11, упражнение 3.

Задача 1.

Два одноименных точечных заряда $q_1$ и $q_2$ с массами $m_1$ и $m_2$ движутся навстречу друг другу. В момент времени, когда расстояние между зарядами равно $r_1$, они имеют скорости $\upsilon_1$ и $\upsilon_2$. До какого минимального расстояния $r_2$ сблизятся заряды?
Решение. Решим задачу с помощью закона сохранения энергии. Вначале заряды имеют как кинетическую энергию (они движутся), так и потенциальную (они взаимодействуют на расстоянии $r_1$). А потом, когда они сблизятся на минимальное расстояние, у них скорости будут одинаковыми – не обязательно нулевыми). Тогда
$$\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}+\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}+W_1=\frac{m_1\upsilon^2}{2}+\frac{m_2\upsilon^2}{2}+W_2$$
$$\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}+\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}+\frac{kq_1q_2}{r_1}==\frac{m_1\upsilon^2}{2}+\frac{m_2\upsilon^2}{2}+\frac{kq_1q_2}{r_2}$$
$$m_1\upsilon_1^2+ m_2\upsilon_2^2+\frac{2kq_1q_2}{r_1}= (m_1+m_2)\upsilon^2+\frac{2kq_1q_2}{r_2}$$
По закону сохранения импульса
$$ m_1\upsilon_1- m_2\upsilon_2=(m_1+m_2)\upsilon$$
Откуда
$$\upsilon=\frac{ m_1\upsilon_1- m_2\upsilon_2}{ m_1+m_2}$$
$$\upsilon^2=\frac{ (m_1\upsilon_1- m_2\upsilon_2)^2}{ (m_1+m_2)^2}$$
Подставим:
$$m_1\upsilon_1^2+ m_2\upsilon_2^2+\frac{2kq_1q_2}{r_1}= \frac{ (m_1\upsilon_1- m_2\upsilon_2)^2}{ (m_1+m_2)}+\frac{2kq_1q_2}{r_2}$$
$$\frac{2kq_1q_2}{r_2}= m_1\upsilon_1^2+ m_2\upsilon_2^2+\frac{2kq_1q_2}{r_1}- \frac{ (m_1\upsilon_1- m_2\upsilon_2)^2}{ m_1+m_2}$$
$$\frac{2kq_1q_2}{r_2}= \frac{2kq_1q_2}{r_1}+\frac{m_1(m_1+m_2)\upsilon_1^2+ m_2(m_1+m_2)\upsilon_2^2-(m_1\upsilon_1- m_2\upsilon_2)^2}{ m_1+m_2}$$
$$\frac{2kq_1q_2}{r_2}=\frac{2kq_1q_2}{r_1}+$$$$\frac{m_1^2\upsilon_1^2 +m_1m_2\upsilon_1^2+m_2m_1\upsilon_2^2+m_2^2\upsilon_2^2-(m_1^2\upsilon_1^2-2m_1m_2\upsilon_1\upsilon_2+ m_2^2\upsilon_2^2)}{ m_1+m_2}$$
$$\frac{2kq_1q_2}{r_2}= \frac{2kq_1q_2}{r_1}+\frac{m_1m_2\upsilon_1^2+ m_2m_1\upsilon_2^2+ 2m_1m_2\upsilon_1\upsilon_2}{ m_1+m_2}$$
$$\frac{2kq_1q_2}{r_2}= \frac{2kq_1q_2}{r_1}+\frac{m_1m_2}{ m_1+m_2}(\upsilon_1+ \upsilon_2)^2 $$
$$ r_2=\frac{2kq_1q_2}{\frac{2kq_1q_2}{r_1}+\frac{m_1m_2}{ m_1+m_2}(\upsilon_1+ \upsilon_2)^2}$$
$$ r_2=\frac{1}{\frac{1}{r_1}+\frac{m_1m_2}{ 2kq_1q_2(m_1+m_2)}(\upsilon_1+ \upsilon_2)^2}$$
$$ r_2=\frac{r_1}{1+\frac{m_1m_2}{ 2kq_1q_2(m_1+m_2)}(\upsilon_1+ \upsilon_2)^2\cdot r_1}$$
Ответ: $ r_2=\frac{r_1}{1+\frac{m_1m_2}{ 2kq_1q_2(m_1+m_2)}(\upsilon_1+ \upsilon_2)^2\cdot r_1}$

Задача 2.

Два маленьких одноименно заряженных шарика закреплены в вакууме на расстоянии, значительно превышающем их линейные размеры. Если отпустить первый шарик, то при достижении расстояния $r$ между шариками его скорость равна $\upsilon_1 = 3$ м/с; если отпустить второй, то при тех же условиях его скорость оказывается равной $\upsilon_2 = 4$ м/с. Найдите скорости шариков, когда они разойдутся на расстояние $r$, если оба шарика отпустить одновременно.

Решение. Запишем ЗСЭ для обоих случаев (отпускаем первый, отпускаем второй). Первоначальная энергия взаимодействия зарядов $(W_1)$ будет равна сумме кинетической и потенциальной энергий $(W_2)$ взаимодействия на расстоянии $r$:
$$W_1=\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}+W_2$$
$$W_1=\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}+W_2$$
Отсюда следует, что
$$\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}=\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}$$
$$ m_1\upsilon_1^2= m_2\upsilon_2^2$$
$$\frac{\upsilon_1^2}{\upsilon_2^2}=\frac{m_2}{m_1}$$
$$\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}=\sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$$
Теперь рассмотрим случай одновременного отпускания:
$$W_1=\frac{m_1\upsilon_3^2}{2}+\frac{m_2\upsilon_4^2}{2}+W_2$$
Но по закону сохранения импульса
$$m_1\upsilon_3= m_2\upsilon_4$$
То есть
$$\upsilon_3=\frac{ m_2\upsilon_4}{ m_1}$$
Подставим:
$$W_1- W_2=\frac{ m_2^2\upsilon_4^2}{2 m_1}+\frac{m_2\upsilon_4^2}{2} $$
$$W_1- W_2=\upsilon_4^2m_2\left(\frac{ m_2+ m_1}{2 m_1}\right) $$
$$\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}=\upsilon_4^2m_2\left(\frac{ m_2+ m_1}{2 m_1}\right) $$
$$m_1\upsilon_1^2=\upsilon_4^2m_2\left(\frac{ m_2+ m_1}{ m_1}\right) $$
$$\upsilon_1^2=\upsilon_4^2m_2\left(\frac{ m_2+ m_1}{ m_1^2}\right) $$
$$\upsilon_4^2=\frac{\upsilon_1^2 m_1^2}{m_2(m_2+m_1)}$$
$$\upsilon_4^2=\upsilon_1^2 \frac{1}{\frac{\upsilon_1^2}{\upsilon_2^2}(\frac{\upsilon_1^2}{\upsilon_2^2}+1)}$$
$$\upsilon_4^2=\upsilon_2^2 \frac{1}{(\frac{\upsilon_1^2}{\upsilon_2^2}+1)}$$
$$\upsilon_4^2= \frac{\upsilon_2^4}{\upsilon_1^2+\upsilon_2^2}$$
$$\upsilon_4= \frac{\upsilon_2^2}{\sqrt{\upsilon_1^2+\upsilon_2^2}}$$
Значит,
$$\upsilon_3= \frac{\upsilon_1^2}{\sqrt{\upsilon_1^2+\upsilon_2^2}}$$
Подставляя численные значения, имеем
$$\upsilon_4=\frac{16}{\sqrt{9+16}}=\frac{16}{5}=3,2$$
$$\upsilon_3= \frac{9}{\sqrt{9+16}}=\frac{9}{5}=1,8$$

Ответ: $\upsilon_4=3,2$ м/с, $\upsilon_3=1,8$ м/с.

Задача 3.

В некоторый момент времени два электрона имели равные по модулю скорости $\upsilon_1 =\upsilon_2 =\upsilon$ и находились в вакууме на расстоянии $L$ друг от друга. При этом скорости  образовывали равные острые углы $\alpha$ с прямой, соединяющей электроны. На каком минимальном расстоянии пройдут электроны друг относительно друга?

Решение. Оно тоже будет энергетическим, поэтому составим ЗСЭ. На минимальном расстоянии оба электрона утратят вертикальные составляющие скорости, и у них останутся только горизонтальные.

$$\frac{ke^2}{L}+2\cdot\frac{m\upsilon^2}{2}=2\cdot\frac{m\upsilon^2\sin^2 \alpha}{2}+\frac{ke^2}{x}$$
$$\frac{ke^2}{L}+m\upsilon^2-m\upsilon^2\sin^2 \alpha=\frac{ke^2}{x}$$
$$x=\frac{ke^2}{\frac{ke^2}{L}+m\upsilon^2(1-\sin^2 \alpha)}$$

Ответ: $x=\frac{ke^2}{\frac{ke^2}{L}+m\upsilon^2\cos^2 \alpha)}$.

Задача 4.

Частица массой $m$, имеющая заряд $q$ и скорость $\upsilon_0$, приближается с большого расстояния к заряженному незакрепленному кольцу, двигаясь по его оси. Радиус кольца $R$, заряд $Q$, масса $М$. Какую скорость будет иметь частица в момент, когда она будет проходить через центр кольца?

Решение: так как кольцо не закреплено, и обладает зарядом, то при приближении к нему частицы оно начнет двигаться. И скорость частицы при проходе кольца должна превышать скорость кольца, или, по крайней мере, быть такой же, как у кольца. Так как частица приближается с очень большого расстояния, то потенциальная энергия взаимодействия частицы и кольца вначале нулевая. Запишем ЗСЭ:
$$\frac{m\upsilon_0^2}{2}=\frac{m\upsilon_{ch}^2}{2}+\frac{M\upsilon_k^2}{2}+\frac{kqQ}{R}$$
$$m\upsilon_0^2=m\upsilon_{ch}^2+M\upsilon_k^2+\frac{2kqQ}{R}$$
$$\upsilon_0^2=\upsilon_{ch}^2+\frac{M}{m}\upsilon_k^2+\frac{2kqQ}{Rm}$$

По закону сохранения импульса
$$m\upsilon_0=m\upsilon_{ch}+M\upsilon_k$$
$$ M\upsilon_k = m\upsilon_0- m\upsilon_{ch} $$
$$ \upsilon_k=\frac{m}{M} \left(\upsilon_0- \upsilon_{ch}\right)$$
Подставим:
$$\upsilon_0^2=\upsilon_{ch}^2+\frac{m}{M}(\upsilon_0- \upsilon_{ch})^2+\frac{2kqQ}{Rm}$$
$$\upsilon_0^2=\upsilon_{ch}^2+\frac{m}{M}\upsilon_0^2- \frac{m}{M}\cdot 2\upsilon_0\upsilon_{ch}+\frac{m}{M}\upsilon_{ch}^2+\frac{2kqQ}{Rm}$$
$$\upsilon_0^2-\frac{m}{M}\upsilon_0^2=\upsilon_{ch}^2+\frac{m}{M}\upsilon_{ch}^2- \frac{m}{M}\cdot 2\upsilon_0\upsilon_{ch}+\frac{2kqQ}{Rm}$$
$$\frac{M-m}{M}\upsilon_0^2=\frac{m+M}{M}\upsilon_{ch}^2- \frac{m}{M}\cdot 2\upsilon_0\upsilon_{ch}+\frac{2kqQ}{Rm}$$
$$\frac{m+M}{M}\upsilon_{ch}^2- \frac{m}{M}\cdot 2\upsilon_0\upsilon_{ch}+\frac{2kqQ}{Rm}-\frac{M-m}{M}\upsilon_0^2$$
Уравнение является квадратным, его корни:
$$D=\frac{4m^2}{M^2}\upsilon_0^2-4\cdot\frac{m+M}{M}\cdot\left(\frac{2kqQ}{Rm}-\frac{M-m}{M}\upsilon_0^2\right)$$
$$D=4\upsilon_0^2-8\frac{2kqQ}{Rm}\cdot\frac{M+m}{Mm}$$
$$\upsilon_{ch}=\frac{m\upsilon_0}{M+m}+\sqrt{\left(\frac{M\upsilon_0}{m+M}\right)^2-\frac{2kqQ}{Rm}}$$

Ответ: $\upsilon_{ch}=\frac{m\upsilon_0}{M+m}+\sqrt{\left(\frac{M\upsilon_0}{m+M}\right)^2-\frac{2kqQ}{Rm}}$