Взаимодействие движущихся заряженных частиц

Задачи из разных источников, в основном – учебник Мякишева 10-11, упражнение 3.

Задача 1.

Два одноименных точечных заряда и с массами и движутся навстречу друг другу. В момент времени, когда расстояние между зарядами равно , они имеют скорости и . До какого минимального расстояния сблизятся заряды?
Решение. Решим задачу с помощью закона сохранения энергии. Вначале заряды имеют как кинетическую энергию (они движутся), так и потенциальную (они взаимодействуют на расстоянии ). А потом, когда они сблизятся на минимальное расстояние, у них скорости будут одинаковыми – не обязательно нулевыми). Тогда



По закону сохранения импульса

Откуда


Подставим:









Ответ:

Задача 2.

Два маленьких одноименно заряженных шарика закреплены в вакууме на расстоянии, значительно превышающем их линейные размеры. Если отпустить первый шарик, то при достижении расстояния между шариками его скорость равна м/с; если отпустить второй, то при тех же условиях его скорость оказывается равной м/с. Найдите скорости шариков, когда они разойдутся на расстояние , если оба шарика отпустить одновременно.

Решение. Запишем ЗСЭ для обоих случаев (отпускаем первый, отпускаем второй). Первоначальная энергия взаимодействия зарядов будет равна сумме кинетической и потенциальной энергий взаимодействия на расстоянии :


Отсюда следует, что




Теперь рассмотрим случай одновременного отпускания:

Но по закону сохранения импульса

То есть

Подставим:










Значит,

Подставляя численные значения, имеем

Ответ: м/с, м/с.

Задача 3.

В некоторый момент времени два электрона имели равные по модулю скорости и находились в вакууме на расстоянии друг от друга. При этом скорости  образовывали равные острые углы с прямой, соединяющей электроны. На каком минимальном расстоянии пройдут электроны друг относительно друга?

Решение. Оно тоже будет энергетическим, поэтому составим ЗСЭ. На минимальном расстоянии оба электрона утратят вертикальные составляющие скорости, и у них останутся только горизонтальные.

Ответ: .

Задача 4.

Частица массой , имеющая заряд и скорость , приближается с большого расстояния к заряженному незакрепленному кольцу, двигаясь по его оси. Радиус кольца , заряд , масса . Какую скорость будет иметь частица в момент, когда она будет проходить через центр кольца?

Решение: так как кольцо не закреплено, и обладает зарядом, то при приближении к нему частицы оно начнет двигаться. И скорость частицы при проходе кольца должна превышать скорость кольца, или, по крайней мере, быть такой же, как у кольца. Так как частица приближается с очень большого расстояния, то потенциальная энергия взаимодействия частицы и кольца вначале нулевая. Запишем ЗСЭ:

По закону сохранения импульса



Подставим:





Уравнение является квадратным, его корни:

Ответ: