Шары и сферы (учебник Мякишева-Синякова)

Еще несколько задач на сферы. Задачи из разных источников, в основном – учебник Мякишева 10-11, упражнение 3.
Задача 1. Определить заряд двух концентрических сфер, если потенциал внутренней сферы радиусом $R$ равен нулю (сфера заземлена), а потенциал внешней сферы радиусом $2R$ равен $\varphi$.
Решение. Потенциал внутренней сферы
$$\varphi_{1}=\frac{kq_1}{R}+\varphi = 0$$
Потенциал внешней сферы
$$\varphi_{2}=\frac{kq_1}{2R}+\frac{kq_2}{2R}=\varphi$$
Подставим из первого уравнения
$$-\frac{\varphi}{2}+\frac{kq_2}{2R}=\varphi$$
$$\frac{kq_2}{2R}=\varphi+\frac{\varphi}{2}$$
$$ q_2=\frac{3\varphi R}{k}$$
Ответ: $ q_2=\frac{3\varphi R}{k}$
Задача 2. Проводящую сферу окружают концентрической сферической проводящей оболочкой радиуса $2R$, несущей заряд $Q$. Чему станет равен потенциал оболочки после заземления сферы?
Решение. Потенциал внутренней сферы равен нулю, потому что она заземлена. С другой стороны, этот ноль – сумма потенциалов внутренней и внешней сфер:
$$\varphi_{vnutr}=\frac{kq_1}{R}+\frac{kQ}{2R}=0$$
$$\frac{kq_1}{R}=-\frac{kQ}{2R}$$
$$ q_1=-\frac{Q}{2}$$
Теперь записываем потенциал оболочки:
$$\varphi_{obol}=\frac{kq_1}{2R}+\frac{kQ}{2R}$$
$$\varphi_{obol}=-\frac{kQ}{4R}+\frac{kQ}{2R}=\frac{kQ}{4R}$$
Ответ: $\varphi_{obol}=\frac{kQ}{4R}$.
Задача 3. Металлический шар радиусом $R_1 = 1$ см несет заряд $q_1 = 2 \cdot 10^{-8}$ Кл. Шар окружен концентрической проводящей оболочкой радиусом $R_2 = 5$ см. На оболочке находится заряд $q_2 = -4 \cdot 10^{-8}$ Кл. Найдите изменение потенциала шара $\Delta \varphi$, если оболочку заземлить.
Решение. Потенциал шара ДО заземления оболочки:
$$\varphi_{sh1}=\frac{kq_1}{R_1}+\frac{kq_2}{R_2}$$
Потенциал оболочки ДО заземления:
$$\varphi_{obol1}=\frac{kq_1}{R_2}+\frac{kq_2}{R_2}$$
Потенциал оболочки ПОСЛЕ заземления:
$$\varphi_{obol2}=\frac{kq_1}{R_2}+\frac{kQ_2}{R_2}=0$$
Откуда ее заряд ПОСЛЕ заземления:
$$\frac{kq_1}{R_2}=-\frac{kQ_2}{R_2}$$
$$Q_2=-q_1$$
Потенциал шара ПОСЛЕ заземления:
$$\varphi_{sh2}=\frac{kq_1}{R_1}+\frac{kQ_2}{R_2}$$
Или
$$\varphi_{sh2}=\frac{kq_1}{R_1}-\frac{kq_1}{R_2}$$
Изменение потенциала шара:
$$\Delta \varphi=\varphi_{sh2}-\varphi_{sh1}=\frac{kq_1}{R_1}-\frac{kq_1}{R_2}-\frac{kq_1}{R_1}-\frac{kq_2}{R_2}=-\frac{kq_1}{R_2}-\frac{kq_2}{R_2}$$
$$\Delta \varphi=-\frac{k(q_1+q_2)}{R_2}=-\frac{9\cdot 10^9\cdot(2-4)\cdot 10^{-8}}{0,05}=3600$$
Ответ: 3600 В.