Шары и емкости

Задача 1.

В результате слияния 64  маленьких, одинаково заряженных капелек воды образовалась одна большая капля. Во сколько раз потенциал и поверхностная плотность заряда большой капли отличаются от потенциала и поверхностной плотности заряда каждой малой капли? Капли имеют форму шара.

Потенциалы  маленьких  капелек равны (пусть их заряды $q$):

$$\varphi_m=\frac{kq}{\varepsilon r}$$

$k=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}=9\cdot 10^9$ Н$\cdot$м$^2$/Кл$^2$ - коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

Потенциал большой капли (пусть ее заряд $Q$):

$$\varphi=\frac{kQ}{\varepsilon R}$$

Масса большой капли равна:

$$M=64m$$

Заряд большой капли равен:

$$Q=64q$$

Ее объем:

$$V=64V_m=64\frac{m}{\rho}$$

Определим ее радиус:

$$R=\sqrt[3]{\frac{3V}{4 \pi}}=\sqrt[3]{\frac{3\cdot64m}{4 \pi \rho}}$$

Радиус маленькой капли равен:

$$r=\sqrt[3]{\frac{3V_m}{4 \pi}}=\sqrt[3]{\frac{3\cdot m}{4 \pi \rho}}$$

Определим отношение потенциалов:

$$\frac{\varphi }{\varphi_m }=\frac{Q r}{q R}=64\sqrt[3]{\frac{3m}{4 \pi \rho} \cdot \frac{4 \pi \rho}{3\cdot64m}}=64\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=16$$

Определим отношение поверхностных плотностей зарядов:

Поверхностная плотность заряда маленькой капли:

$$\sigma_m=\frac{q}{s}$$

А большой:

$$\sigma=\frac{Q}{S}$$

Отношение плотностей равно:

$$\frac{\sigma}{\sigma_m }=\frac{Qs}{qS}=\frac{64\cdot4 \pi r^2}{4 \pi R^2}$$

$$\frac{\sigma}{\sigma_m }=\frac{64r^2}{ R^2}=64\sqrt[3]{\left(\frac{3m}{4 \pi \rho} \cdot \frac{4 \pi \rho}{3\cdot64m}\right)^2}=64\sqrt[3]{\frac{1}{64^2}}=4$$

Ответ: $\frac{\varphi }{\varphi_m }=16$, $\frac{\sigma}{\sigma_m }=4$.

 

Задача 2.

Три заряженных шарика радиусами $R_1=1$ см, $R_2=2$ см, $R_3=3$ см соединены проволокой. Как распределится общий заряд $Q$ между шариками? Размеры шариков малы по сравнению с расстояниями между ними.

Потенциалы шариков до того, как их соединили:

$$\varphi_1=\frac{q_1}{C_1}$$

$$\varphi_2=\frac{q_2}{C_2}$$

$$\varphi_3=\frac{q_3}{C_3}$$

Емкости шаров зависят от их радиусов:

$$C_1=\frac{R_1}{k}$$

$$C_2=\frac{R_2}{k}$$

$$C_3=\frac{R_3}{k}$$

После того, как шарики соединят, их потенциалы сравняются:

$$\varphi_1=\varphi_2=\varphi_3$$

$$\frac{q_1k}{R_1}=\frac{q_2k}{R_2}=\frac{q_3k}{R_3}$$

Или последнее равенство можно записать так:

$$q_1:q_2:q_3=R_1:R_2:R_3=1:2:3$$

Так как $q_1+q_2+q_3=q$, то $q_1=\frac{q}{6}$,  $q_2=\frac{q}{3}$, $q_3=\frac{q}{2}$.

Ответ: $q_1=\frac{q}{6}$,  $q_2=\frac{q}{3}$, $q_3=\frac{q}{2}$.

 

Задача 3.

Два проводящих шара радиусами  $R_1=10$ см и $R_2=5$ см  заряжены до потенциалов $\varphi_1=20$ В и $\varphi_2=10$ В соответственно. Найти поверхностные плотности зарядов $\sigma_1$ и $\sigma_2$ на шарах после их соединения проводником.  Расстояние между шарами много больше их радиусов. Емкостью проводника, соединяющего шары, пренебречь.

Потенциалы шариков до того, как их соединили:

$$\varphi_1=\frac{q_1}{C_1}$$

$$\varphi_2=\frac{q_2}{C_2}$$

После соединения шаров потенциалы их станут равными:

$$\frac{q_1}{C_1}=\frac{q_2}{C_2}$$

Так как емкость заряженного шара прямо зависит от его радиуса, то можно записать, что

$$\frac{q_1}{q_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{R_1}{R_2}=2$$

Тогда суммарный заряд шаров равен

$$q_1+q_2=2q_2+q_2=3q_2$$

Заряды шаров:

$$q_1=\varphi_1\cdot C_1=\frac{\varphi_1 R_1}{k}$$

$$q_2=\varphi_2\cdot C_2=\frac{\varphi_2 R_2}{k}$$

Их сумма:

$$q_1+q_2=\frac{\varphi_1 R_1+\varphi_2 R_2}{k}=3q_2$$

Отсюда

$$q_2=\frac{\varphi_1 R_1+\varphi_2 R_2}{3k}$$

А заряд первого тогда:

$$q_1=\frac{2(\varphi_1 R_1+\varphi_2 R_2)}{3k}$$

Найдем поверхностную плотность зарядов:

$$\sigma_1=\frac{q_1}{S_1}=\frac{2(\varphi_1 R_1+\varphi_2 R_2)}{3kS_1}$$

$$\sigma_1=\frac{2(\varphi_1 R_1+\varphi_2 R_2)}{3k\cdot4 \pi R_1^2}$$

 

$$\sigma_2=\frac{q_2}{S_2}=\frac{\varphi_1 R_1+\varphi_2 R_2)}{3kS_2}$$

$$\sigma_2=\frac{\varphi_1 R_1+\varphi_2 R_2)}{3k\cdot 4 \pi R_2^2}$$

Наконец, численно:

$$\sigma_1=\frac{2(20\cdot 0,1+10 \cdot 0,05)}{3\cdot9\cdot10^9\cdot4 \pi 0,1^2}=1,46\cdot10^{-9}$$

$$\sigma_2=\frac{20\cdot 0,1+10 \cdot 0,05}{3\cdot9\cdot10^9\cdot4 \pi 0,1^2}=2,92\cdot10^{-9}$$

Ответ: $\sigma_1=1,46\cdot10^{-9}$ Кл/м$^2$, $\sigma_2=2,92\cdot10^{-9}$, Кл/м$^2$

 

Задача 4.

Шар радиусом $R_1=5$ см, заряженный до потенциала  $\varphi_1=100$ кВ, соединили длинной проволокой с незаряженным шаром, радиус которого $R_2=6$ см. Найти заряд каждого шара и их потенциалы.

Сначала полный заряд был сконцентрирован на одном из шаров:

$$\varphi_1=\frac{q_1}{C_1}$$

$$q_1=\varphi_1 C_1$$

Затем этот заряд перераспределится на оба шара. Емкости шаров зависят от их радиусов:

$$C_1=\frac{R_1}{k}$$

$$C_2=\frac{R_2}{k}$$

Потенциалы шаров после соединения равны:

$$\varphi_1=\varphi_2$$

$$\frac{q_{11}}{C_1}=\frac{q_2}{C_2}$$

Тогда

$$q_2=\frac{q_{11} C_2}{C_1}=\frac{q_{11} R_2}{R_1}$$

Мы знаем, что $q_2+q_{11}=q_1$, то есть

$$\frac{q_{11} R_2}{R_1}+q_{11}=q_1$$

$$q_{11}\left(\frac{R_2}{R_1}+1 \right)=q_1=\varphi_1 C_1$$

Определим заряд первого шара после соприкосновения:

$$q_{11}=\frac{\varphi_1 C_1}{\left(\frac{R_2}{R_1}+1 \right)}=\frac{\varphi_1 К_1}{k\left(\frac{R_2}{R_1}+1 \right)}$$

Тогда заряд второго равен:

$$q_2=\frac{\varphi_1 R_1}{k\left(\frac{R_2}{R_1}+1 \right)}\cdot\frac{R_2}{R_1}$$

Теперь можно и подставить числа:

$$q_{11}=\frac{100 000\cdot0,05}{9\cdot10^9\left(\frac{0,06}{0,05}+1 \right)}=0,25\cdot10^{-6}$$

$$q_2=\frac{100 000\cdot0,05}{9\cdot10^9\left(\frac{0,06}{0,05}+1 \right)}\cdot\frac{0,06}{0,05}=0,3\cdot10^{-6}$$

Наконец, потенциалы шаров тогда станут равны:

$$\varphi_{11}=\frac{q_{11}}{C_1}=\frac{kq_{11}}{R_1}=\frac{9\cdot10^9\cdot0,25\cdot10^{-6}}{0,05}=45000$$

$$\varphi_{2}=\frac{q_2}{C_2}=\frac{kq_2}{R_2}=\frac{9\cdot10^9\cdot0,3\cdot10^{-6}}{0,06}=45000$$

Ответ: $q_{11}=0,25\cdot10^{-6}$ Кл, или 0,25 мкКл, $q_2=0,3\cdot10^{-6}$, или 0,3 мкКл, потенциалы шаров равны 45000 В.