Потенциалы: задачник Добродеева

 

Задача 17.7.

На расстоянии $r = 1,5$ м от центра изолированного незаряженного металлического шара снаружи находится точечный заряд $q = 1$ мкКл. Определить потенциал шара $\varphi$.

 

Решение. Потенциал шара можно определить по формуле

$$\varphi=\frac{kq}{R}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 10^{-6}}{1,5}=6000$$

Ответ: 6 кВ

 

Задача 17.8.

Проводящие сферы радиусов $R_1 = 15$ мм и $R_2 = 45$ мм, находящиеся достаточно далеко друг от друга, заряжены до потенциалов $\varphi_1 = 90$ В и $\varphi_2 = 20$ В соответственно. Каким станет потенциал $\varphi$ сфер, если их соединить тонкой проволочкой? Какой заряд $q$ и в каком направлении протечет по проволоке?

 

Решение. Сначала потенциалы сфер равны:

$$\varphi_1=\frac{kq_1}{R_1}$$

$$\varphi_2=\frac{kq_2}{R_2}$$

$$kq_1=\varphi_1 R_1$$

$$kq_2=\varphi_2 R_2$$

После соединения тонкой проволочкой потенциалы станут равны.

$$\varphi=\frac{k q_{1nov}}{R_1}=\frac{k q_{2nov}}{R_2}$$

Отсюда

$$kq_{1nov}=\varphi R_1$$

$$kq_{2nov}=\varphi R_2$$

А заряд-то при этом перераспределился, но сохранился!

$$q_1+q_2=q_{1nov}+ q_{2nov}$$

Перепишем так:

$$kq_1+kq_2=kq_{1nov}+ kq_{2nov}$$

И теперь подставим:

$$\varphi_1 R_1+\varphi_2 R_2=\varphi R_1+\varphi R_2$$

Откуда

$$\varphi=\frac{\varphi_1 R_1+\varphi_2 R_2}{R_1+R_2}=\frac{90\cdot 15+20\cdot 45}{60}=24$$

И в числителе мм, и в знаменателе – сократятся, поэтому в СИ не переводила.

Ответ: 24 В

 

Задача 17.9.

Если зарядить два удаленных металлических шара, а затем сблизить их до расстояния $l = 1,6$ м между их центрами, то потенциал одного из них возрастает на $\Delta \varphi_1= 2,4$  В, а другого - уменьшается на $\Delta \varphi_2=4,1$ В. Определить величину зарядов $q_1$ и $q_2$ на шарах, учитывая, что их радиусы гораздо меньше $l$.

 

Решение. Пока шары удалены, их потенциал определяется только их собственным зарядом. Изменение же потенциала связано с зарядом другого шара, поэтому

$$\Delta \varphi_1=\frac{kq_2}{l}$$

$$q_2=\frac{\Delta \varphi_1 l}{k}=\frac{2,4\cdot 1,6}{9\cdot 10^9}=0,43\cdot 10^{-9}$$

$$q_1=-\frac{\Delta \varphi_2 l}{k}=-\frac{4,1\cdot 1,6}{9\cdot 10^9}=-0,73\cdot 10^{-9}$$

Ответ: $q_1=-0,73$ нКл, $ q_2=0,43$ нКл.

 

Задача 17.10.

$N$ одинаковых капелек ртути заряжены до одинакового потенциала $\varphi_0= 15$ В. Каков будет потенциал $\varphi$ большой капли, получившейся в результате слияния этих капелек? Вычислить для $N = 27$.

 

Решение. Потенциал капли позволит найти ее радиус:

$$\varphi=\frac{kq}{r}$$

$$r=\frac{kq}{\varphi}$$

Объем большой капли состоит из объемов малых, и, так как $V_{bol}=27V_{mal}$, то $R=3r$ (все шары подобны, объемы подобных фигур относятся как куб коэффициента подобия, $3^3=27$).

Теперь находим потенциал большой капли:

$$\varphi_{bol}=\frac{k\cdot 27q}{3r}=9\varphi =135$$

Ответ: 135 В

 

 

Задача 17.11.

Металлический шар заряжают при помощи пластинки, которую после каждого соприкосновения с шаром снова заряжают от источника до заряда $Q = 5$ мкКл. Определить максимальный заряд шара $q_{max}$, если его заряд после первого соприкосновения равен $q = 3$ мкКл.

 

Решение. То, что незаряженный шар «принял» 3 мкКл из пяти от пластинки, говорит о соотношении их размеров: оно равно 1,5, ведь заряд пластинки остался равным 2 мкКл. Шар больше в 1,5 раза, и максимальный его заряд тоже может быть только в 1,5 раза больше заряда пластинки: 7,5 мкКл.

Ответ: 7,5 мкКл.

Задача 17.12. Два небольших проводящих заряженных шара радиуса $R = 5$ мм каждый расположены на расстоянии $r = 5$ см друг от друга. Шары поочередно на некоторое время заземляют. Определить потенциал $\varphi_1$ шара, который был заземлен первым, если первоначально каждый шар имел заряд $q = 10$ нКл.

Решение. Потенциал заземленного шара ноль, но заряд не ноль! Заряд его таков, что сумма потенциалов двух шаров стала равной нулю.

$$\frac{kq}{r}+\frac{kq_x}{R}=0$$

Здесь первое слагаемое – потенциал, создаваемый на заземленном шаре вторым, не заземленным. А второе – потенциал, создаваемый самим заземленным шаром – его зарядом $q_x$, подтянутым с земли. Тогда

$$rq_x=-qR$$

$$q_x=-\frac{qR}{r}$$

Этот заряд остался на шаре, заземление убирают и теперь заземляют второй шар. Теперь его потенциал ноль – и это сумма двух потенциалов, собственного и стороннего.

$$\frac{kq_x}{r}+\frac{kq_y}{R}=0$$

$$-q_x R=q_yr$$

$$q_y=-\frac{q_xR}{r}$$

Потенциал шара, заземленного первым, станет теперь таким:

$$\varphi_1=\frac{kq_x}{R}+\frac{kq_y}{r}=-\frac{kq}{r}+\frac{kqR^2}{r^3}$$

$$\varphi_1=\frac{kq}{r}\left(-1+\frac{R^2}{r^2}\right)=\frac{9\cdot 10^9\cdot 10^{-8}}{0,05}\left(-1+\frac{0,005^2}{0,05^2}\right)=-1782$$

Ответ: -1,78 кВ

Задача 17.13.

Два небольших проводящих заряженных шара радиуса $R=5$ мм каждый расположены на расстоянии $r=5$ см друг от друга. Шары поочередно на короткое время заземляют. Определить заряд $q_2$, оставшийся на шаре, который был заземлен вторым, если первоначально каждый шар имел потенциал $\varphi_1 = 10$ В.

Решение. Определим заряды шаров, если их потенциалы известны (это сумма своего потенциала и созданного соседом)

$$\frac{kq}{R}+\frac{kq}{r}=\varphi_1$$

$$kq\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{r}\right)= \varphi_1$$

$$q=\frac{\varphi_1Rr}{k(R+r)}=\frac{10\cdot 0,005\cdot0,05}{0,055\cdot 9\cdot 10^9}=5,05\cdot 10^{-12}$$

Мы уже решили эту задачу – тут просят найти $q_y$:

$$q_y=\frac{qR^2}{r^2}=\frac{5,05\cdot 10^{-12}\cdot 0,005^2}{0,05^2}=5,05\cdot 10^{-14}$$

Ответ: $q_2=5,05\cdot 10^{-14}$ Кл