Потенциалы

В этой статье заряды перемещают из точки в точку, электроны и альфа-частицы разгоняются и тормозят, совершается работа. Мы научимся определять знак этой работы, знаак напряжения и знак разности потенциалов.

Задача 1.

Какую работу совершает поле при перемещении заряда $q=20$ нКл из точки с потенциалом $\varphi_1=700$ В в точку с потенциалом $\varphi_2=200$ В?

Работа поля равна:

$$A=q \Delta \varphi=q(\varphi_1-\varphi_2)=20\cdot10^{-9}\cdot(700-200)=10^{-5}$$

Ответ: $A=10^{-5}$ Дж.

 

Задача 2.

В однородном электрическом поле напряженностью $E=1$ кВ/м переместили заряд $q=-25$ нКл  в направлении силовой линии на расстояние $r=2$ см. Найти работу поля, изменение потенциальной энергии взаимодействия заряда и поля и напряжение между начальной и конечной точками перемещения.

Так как заряд перемещают в направлении линии поля, следовательно, из точки с большим потенциалом в точку с меньшим. Если бы заряд был положительным, работа поля была бы положительной, но в случае отрицательного заряда при перемещении его по силовой линии (то есть как бы в сторону, где расположен отрицательный заряд) работа поля отрицательна.

$$A=F r=E q r=1000\cdot (-25)\cdot10^{-9}\cdot 0,02=-5\cdot10^{-6}$$

$$\Delta W=- A =5\cdot10^{-6}$$

Так как $A= -q \Delta \varphi$, то

$$\Delta \varphi=-\frac{A}{q}=1000\cdot0,02=20$$

Так как заряд перемещают из точки с большим потенциалом в точку с меньшим, то разность потенциалов положительна (напряжение было бы отрицательным).

Ответ: $A=-5\cdot10^{-6}$, или $-5$ мкДж, $\Delta W=5$ мкДж, $\Delta \varphi=20$ В.

 

Задача 3.

В однородном поле напряженностью $E=60$ кВ/м переместили заряд $q=5$ нКл. Перемещение $r=20$ см образует угол $\alpha=60^{\circ}$ с направлением силовой линии. Найти работу поля, изменение потенциальной энергии взаимодействия заряда и поля и напряжение между начальной и конечной точками перемещения, а также разность потенциалов между ними.

Работа поля равна

$$A=FS\cos{\alpha}=Eq S\cos{\alpha}=60\cdot10^3\cdot5\cdot10^{-9}\cdot0,2\cdot\frac{1}{2}=30\cdot10^{-6}$$

$$\Delta W=- A =-30\cdot10^{-6}$$

$$A= q U$$

$$U=\frac{A}{q}= E S\cos{\alpha}=60\cdot10^3\cdot0,2\cdot\frac{1}{2}=6000$$

$$\Delta \varphi =-U=-6000$$

Ответ: $A=30$ мкДж, $\Delta W=-30$ мкДж, $U=6000$ В, $\Delta \varphi=-6000$ В.

Задача 4.

Под действием электрического поля электрон переместился из точки с потенциалом $\varphi_1=200$ В в точку с потенциалом  $\varphi_2=300$ В. Найти кинетическую энергию электрона, изменение потенциальной энергии взаимодействия с полем и приобретенную скорость. Начальную скорость электрона считать равной нулю.

Кинетическая энергия электрона

$$E_k=\frac{m \upsilon^2}{2}$$

Численно работа поля равна изменению кинетической энергии электрона. Работа поля отрицательна (перемещаем отрицательный заряд против линий поля):

$$A=-q \Delta \varphi=-q (\varphi_1-\varphi_2) =-(-1,6\cdot10^{-19})\cdot(200-300)=-1,6\cdot10^{-17}$$

Тогда скорость электрона

$$A=\frac{m \upsilon^2}{2}$$

$$\upsilon^2=\frac{2A}{m}$$

$$\upsilon=\sqrt{\frac{2A}{m}}=\sqrt{\frac{3,2\cdot10^{-17}}{9,1\cdot10^{-31}}}=5,9\cdot10^6$$

$$\Delta W=- A =1,6\cdot10^{-17}$$

Ответ: $\upsilon=5,9\cdot10^6$ м/с, или 5,9 Мм/c, $\Delta W=1,6\cdot10^{-17}$ Дж, $E_k=1,6\cdot10^{-17}$ Дж.

 

Задача 5.

Электрон под действием электрического поля увеличил свою скорость с $\upsilon_1=10^7$ м/с до $\upsilon_2=3\cdot10^7$ м/с. Найти разность потенциалов между начальной и конечной точками перемещения.

Электрон увеличил скорость, следовательно, двигался против линий поля, а при движении отрицательного заряда против линий поля работа поля положительна. Зато изменение потенциальной энергии взаимодействия поля с зарядом – отрицательно. Заряд двигается из точки с меньшим потенциалом в точку с большим, поэтому разность потенциалов отрицательна.

Изменение кинетической энергии электрона равно:

$$\Delta E_k=\frac{m}{2}\cdot(\upsilon_2^2-\upsilon_1^2)= \frac{9,1\cdot10^{-31}}{2}\cdot(9\cdot10^{14}-10^{14})=36,4\cdot10^{-17}$$

$$\Delta E_k=-\Delta W$$

$$-\Delta \varphi=\frac{\Delta W }{e}=\frac{-36,4\cdot10^{-17}}{-1,6\cdot10^{-19}}=2275$$

$$\Delta \varphi=-2275$$

Ответ: $\Delta \varphi=-2275$ В.

 

Задача 6.

Альфа-частица движется со скоростью $\upsilon=2\cdot10^7$ м/с и попадает в однородное электрическое поле, силовые линии которого направлены противоположно направлению движения частицы. Какую разность потенциалов должна пройти частица до остановки? Какой должна быть напряженность электрического поля, чтобы частица остановилась, пройдя расстояние $s=2$ м?

Альфа-частица заряжена положительно, при движении против линий поля она будет тормозить, а работа поля будет отрицательной. Следовательно, изменение потенциальной энергии взаимодействия поля с зарядом – положительно.  Когда частица остановится, это значит, что вся ее кинетическая энергия перейдет в потенциальную.

$$E_k=E_p$$

$$\frac{m_{\alpha} \upsilon^2}{2}=E q r$$

Откуда

$$E=\frac{m_{\alpha} \upsilon^2}{2 q r }$$

Заряд альфа-частицы равен удвоенному заряду электрона (но положительный), а масса равна учетверенной а.е.м.

$$E=\frac{4\cdot1,6\cdot10^{-27} \cdot4\cdot10^{14}}{4\cdot1,6\cdot10^{-19}\cdot 2 }=2,1\cdot10^6$$

$$A=Uq$$

Следовательно,

$$U=\frac{A}{q}=\frac{ m_{\alpha} \upsilon^2}{2 q}=-\frac{4\cdot1,6\cdot10^{-27} \cdot4\cdot10^{14}}{4\cdot1,6\cdot10^{-19}}=-4,2\cdot10^6$$

Поэтому $\Delta \varphi=-U=4,2\cdot10^6$

Ответ: $E=2,1\cdot10^6$ В/м, $\Delta \varphi=4,2\cdot10^6$ В.

Задача 7.

Величина напряженности электрического поля изменяется в некотором направлении по закону $E=Ar$, где $A=4$ В/м$^2$. Позитрон начинает двигаться из положения, в котором $r=0$. Какую скорость он приобретет, пройдя путь $s=1$ м вдоль этого направления?

Так как позитрон – частица с положительным зарядом, то двигался он вдоль направления линий поля и работа поля в этом случае положительна. Работа поля будет преобразована в кинетическую энергию частицы.

$$E_k=A$$

$$\frac{m_p \upsilon^2}{2}=E q s$$

В качестве величины напряженности поля примем среднюю:

$$E=\frac{Ar}{2}=\frac{As}{2}$$

Тогда

$$\frac{m_p \upsilon^2}{2}=\frac{As}{2} q s$$

$$\upsilon^2=\frac{2As^2q}{2m}$$

$$\upsilon=\sqrt{\frac{As^2q}{m}}$$

$$\upsilon=s\sqrt{\frac{Aq}{m}}=\sqrt{\frac{4\cdot1,6\cdot10^{-19}}{9,1\cdot10^{-31}}}=8,4\cdot10^5$$

Ответ: $\upsilon=8,4\cdot10^5$ м/с.

 

Задача 8.

В однородном электрическом поле выбраны точки $A$, $B$, $C$, $D$ и $N$, расположенные вдоль одной прямой на одинаковых расстояниях друг от друга. Найти потенциалы точек $B$ и $D$, принимая поочередно $A$, $C$ и $N$ за точки нулевого потенциала, если разность потенциалов $\varphi_B-\varphi_D=50$ В.

Точки, как видно, расположены так, что от $A$ к $N$ потенциал убывает. Поэтому, так как точки расположены равномерно, на равных расстояниях, то сразу понятно, что между двумя соседними разность потенциалов 25 В (так как по условию между $B$ и $D$ - 50 В). Следовательно, если точка с нулевым потенциалом – точка $A$ - то у точки $B$ потенциал минус 25 В, а у $D$ - минус 75. Если точка с нулевым потенциалом – точка $C$ - то у точки $B$ потенциал 25 В, а у $D$ - минус 25. Если точка с нулевым потенциалом – точка $N$ - то у точки $B$ потенциал 75 В, а у $D$ - 25.