Потенциал - задачи Сириуса

Задача 1.

Маленький заряженный шарик расположен на расстоянии 1 м от закреплённого точечного заряда $q=1$ мкКл. Какую минимальную работу необходимо совершить против силы кулоновского притяжения, чтобы переместить шарик на расстояние 5 м от заряда $q$? Заряд шарика равен $Q=−20$ мкКл. Ответ выразите в мДж, округлите до целого числа. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k=9\cdot 10^9$ Н$\cdot$ м$^2$/Кл$^2$.

Решение. Найдем работу как разность потенциальных энергий шарика на разных расстояниях от заряда $q$ (я поменяла знак заряда шарика и поменяла местами слагаемые в скобках).

$$A=q_{sh}\cdot \left(\frac{kq}{r_1}-\frac{kq}{r_2}\right)=20\cdot 10^{-6}\cdot \left(\frac{9\cdot 10^9\cdot 10^{-6}}{1}-\frac{9\cdot 10^9\cdot 10^{-6}}{5}\right)=0,144$$

Ответ: 144 мДж.

Задача 2.

В поле точечного заряда $Q=10$ мкКл расположен пробный заряд $q=100$ нКл, потенциальная энергия которого равна $U=−1,5$ мДж. На каком расстоянии от заряда $Q$ находится пробный заряд $q$, если в качестве нулевой точки (потенциальная энергия в которой принимается за нуль) выбрана точка, отстоящая от заряда $Q$ на расстояние 2 м? Ответ выразите в см, округлите до целого числа. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k=9\cdot 10^9$ Н$\cdot$ м$^2$/Кл$^2$.

Решение. Зная потенциальную энергию и заряд, найдем разность потенциалов:

$$ W_p= Q\cdot \left(\frac{kq}{r_2}-\frac{kq}{r_1}\right)$$

$$\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\right)=\frac{ W_p }{kQq}=\frac{-1,5\cdot10^{-3}}{9\cdot 10^9\cdot 10 \cdot10^{-6}\cdot 100\cdot 10^{-9}}=-\frac{1}{6}$$

$$\frac{1}{r_2}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}$$

$$\frac{1}{r_2}=\frac{1}{3}$$

$$r_2=3$$

Ответ: 300 см.

Задача 3.

В вершинах квадрата со стороной 1 м расположены четыре одинаковых точечных заряда $q=1$ мКл. Чему равна потенциальная энергия точечного заряда $Q=2$ мКл, помещённого в центр квадрата? Ответ выразите в кДж, округлите до целого числа. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k=9\cdot 10^9$ Н$\cdot$ м$^2$/Кл$^2$. Потенциал на бесконечности примите равным нулю.

Решение. Расстояние, на котором будет находиться заряд $Q$ от вершин квадрата, равно $r=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Четыре заряда создадут в этой точке потенциал

$$\varphi=\frac{kq}{r}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 10^{-3}\cdot 2}{1\cdot \sqrt{2} }=9\sqrt{2}\cdot 10^6$$

Потенциалы эти сложатся, и энергия заряда $Q$ тогда равна

$$W_p=Q\cdot 4\varphi=2\cdot10^{-3}\cdot 4\cdot 9\sqrt{2}\cdot 10^6=102\cdot 10^3$$

Ответ: 102 кДж.

Задача 4.

Два точечных заряда $q_1=1$ мкКл и $q_2=−2$ мкКл находятся на расстоянии 90 см друг от друга. На каких расстояниях от заряда $q_1$ расположены точки нулевого потенциала, лежащие на прямой, соединяющей заряды? Ответ выразите в см, округлите до целого числа. Потенциал на бесконечности примите равным нулю.

Решение. Оба заряда создадут потенциал, причем каждый – своего знака. Раз потенциал в точке оказался нулевым, значит, два потенциала сложились и в сумме получился ноль. Если искомая точка не между зарядами:

$$\frac{kq_1}{x}+\frac{kq_2}{x+0,9}=0$$

$$\frac{q_1}{x}=\frac{\mid q_2\mid}{x+0,9}$$

$$\frac{1}{x}=\frac{2}{x+0,9}$$

$$x=0,9$$

Или же искомая точка между зарядами, то

$$\frac{kq_1}{x}+\frac{kq_2}{ 0,9-x}=0$$

$$\frac{q_1}{x}=\frac{\mid q_2\mid}{ 0,9- x}$$

$$\frac{1}{x}=\frac{2}{ 0,9-x}$$

$$3x=0,9$$

$$x=0,3$$

Ответ: 90 см или 30 см