Потенциал: задачи ЕГЭ - 2

Чтобы успешно решать задачи, предлагаемые на экзамене, нужно четко проанализировать ситуацию: что было до, что стало после, какие изменения произошли и произошли ли вообще. Для решения конкретно этих задач важно помнить, что напряженность - величина векторная, а потенциал - скаляр. Ну и формулы, конечно.

Задача 1.

В трех вершинах квадрата со стороной $a=1$ м находятся точечные заряды $\mid q\mid=10^{-6}$ Кл. Определите потенциал электростатического поля в точке $A$.

Рисунок 1

Так как «справа» и «слева» от точки $A$ находятся заряды разных знаков, и при этом на одном расстоянии от $A$, то каждый из них создаст в точке $A$ потенциал. Эти потенциалы будут равны по модулю, но отличны по знаку, и скомпенсируют друг друга. Поэтому учитывать будем только потенциал, создаваемый зарядом, находящимся по диагонали от $A$.

$$\varphi=\frac{k q}{r}=\frac{k q }{a\sqrt{2}}=\frac{9\cdot10^9\cdot10^{-6}}{\sqrt{2}}=6,38\cdot10^3$$

Ответ: $\varphi=6,38\cdot10^3$ В.

Задача 2.

На поверхности заряженного проводящего шара радиусом $R=10$ см потенциал $\varphi=100$ В. На каком расстоянии от поверхности шара потенциал электрического поля равен 20 В?

Вычисляем:

$$\varphi=\frac{k q}{R}$$

Заряд шара:

$$q=\frac{\varphi\cdot R}{k}$$

Тогда

$$\varphi_1=\frac{k q}{R+r}$$

$$R+r=\frac{kq}{\varphi_1}$$

$$r=\frac{kq}{\varphi_1}-R=\frac{\varphi\cdot R }{\varphi_1}-R=\frac{100\cdot0,1}{20}-0,1=0,4 $$

Ответ: $r=0,4$ м.

Задача 3.

До какого потенциала заряжен шар, если ему сообщили заряд $q=10$ мкКл, а запасенная им электрическая энергия $W=0,15$ мДж?

Энергия уединенного проводника определяется выражением

$$W=\frac{q \varphi}{2}$$

Откуда

$$\varphi=\frac{2W}{q}=\frac{0,3\cdot10^{-3}}{10^{-5}}=30$$

Ответ: $\varphi=30$ В.

Задача 4.

Какую максимальную скорость приобретут электроны в результате эмиссии с металлического шара радиусом $R=10$ см, имеющего отрицательный заряд $q=10^{-8}$ Кл?

Шар, заряженный отрицательно, будет отталкивать электроны. Потенциальная энергия этого взаимодействия перейдет в кинетическую энергию электронов:

$$E_k=E_p$$

$$\frac{m \upsilon^2}{2}=\frac{k q_1 q_2}{R}$$

Откуда скорость равна

$$\upsilon=\sqrt{\frac{2 k q_1 q_2}{m R}}=\sqrt{\frac{2 \cdot9\cdot10^9\cdot10^{-8}\cdot1,6\cdot10^{-19}}{9,1\cdot10^{-31}\cdot0,1}}=1,78\cdot10^7$$

Ответ: $\upsilon=1,78\cdot10^7$ м/с.

Задача 5.

В каждом из углов равностороннего треугольника находится заряд $+q$. Как изменяется напряженность электрического поля и потенциал поля в центре треугольника при кратном увеличении расстояния между зарядами?

А) напряженность

Б) потенциал

1) не изменяется

2) уменьшается

3) увеличивается

Так как напряженность – векторная величина, то три одинаковых по длине вектора напряженности сложатся в центре тяжести треугольника и в сумме дадут 0. Поэтому, даже если стороны треугольника увеличатся и напряженности полей зарядов из-за этого уменьшатся, то суммарный вектор напряженности по-прежнему останется равным нулю. Так что для пункта А) выберем 1).

Потенциал в центре тяжести складывается из трех потенциалов всех трех зарядов, и эта величина – скаляр, и зависит от расстояния. Поэтому сначала потенциал был одним, а когда заряды отодвинули – стал меньше, для Б) выбираем пункт 2).

Ответ: 12.

Задача 6.

Электрическое поле создано точечным зарядом $q=4\cdot10^{-9}$ Кл, находящимся в среде с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon=2$. Определите разность потенциалов точек, удаленных от заряда на 2 и 8 см.

$$U=\varphi_1-\varphi_2=\frac{k q}{\varepsilon r_1}-\frac{k q}{\varepsilon r_2}=\frac{kq}{\varepsilon }\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)=9\cdot10^9\cdot4\cdot10^{-9}\cdot0,5(50-12,5)=675$$

Ответ: 675 В

Задача 7.

Какую работу надо совершить, чтобы переместить точечный заряд $q=-2\cdot10^{-6}$ Кл внутрь металлической равномерно заряженной сферы  радиусом $R=0,15$ м, имеющей заряд $Q=5\cdot10^{-7}$ Кл? Заряд перемещают из точки, находящейся на расстоянии 0,3 м от поверхности сферы, в точку на расстоянии 5 см от центра сферы.

Работа по перемещению заряда определяется формулой:

$$A=qU=q(\varphi_1-\varphi_2)= kq_1q_2\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)$$

Здесь $r_1=0,15+0,3$, $r_2=0,15$ - потому что внутри сферы потенциал такой же, как и на поверхности.

Тогда

$$A=- 9\cdot10^9\cdot2\cdot10^{-6}\cdot 5 \cdot10^{-7}(\frac{1}{0,45}-\frac{1}{0,15})=0,04$$

Ответ: $A=0,04$ Дж.