Потенциал и работа поля - задачи Сириуса

Задача 1.

Потенциалы точек A и B, расположенных на одной силовой линии положительного точечного заряда, равны 30 В и 20 В. Найдите потенциал точки C, лежащей посередине между точками A и B. Ответ выразите в В, округлите до целого числа.

Решение. Потенциал в точке А:

$$\varphi_A=\frac{kq}{r_A}$$

В точке В:

$$\varphi_B=\frac{kq}{r_B}$$

Выразим расстояния от точек $A$ и $B$ до заряда $q$ - источника поля.

$$r_A=\frac{kq}{\varphi_A}$$

$$r_B=\frac{kq}{\varphi_B}$$

Расстояние до середины отрезка $AB$ от того же заряда $\frac{r_A+r_B}{2}$. Потенциал в этой точке

$$\varphi_C=\frac{kq}{r_C}=\frac{2kq}{ r_A+r_B }=\frac{2kq}{\frac{kq}{\varphi_A}+\frac{kq}{\varphi_B}}$$

$$\varphi_C=\frac{2\varphi_A \varphi_B}{\varphi_A +\varphi_B }=\frac{2\cdot30\cdot 20}{50}=24$$

Ответ: 24 В

Задача 2.

В вершинах правильного треугольника расположены точечные заряды 1 нКл, 2 нКл и 3 нКл. Найдите потенциал электростатического поля этих зарядов в центре треугольника. Сторона треугольника равна 50 см. Ответ выразите в В, округлите до целого числа. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k=9\cdot 10^9$ Н$\cdot$ м$^2$/Кл$^2$.

Решение. Расстояние от зарядов до центра треугольника – это радиус описанной окружности, который для правильного треугольника равен

$$R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot a\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{\sqrt{3}}$$

Посчитаем потенциал в центре как сумму потенциалов, создаваемых тремя зарядами:

$$\varphi=\varphi_1+\varphi_2+\varphi_3=\frac{k}{R}(q_1+q_2+q_3)=\frac{9\cdot 10^9\cdot 10^{-9}\cdot 6}{0,5}\cdot \sqrt{3}=108\sqrt{3}=187$$

Ответ: 187 В

Задача 3.

Три одинаковых заряда величиной 100 нКл каждый находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной 10 см. Найдите разность потенциалов $\varphi_C-\varphi_M$ центра треугольника $\varphi_C$  и середины одной из сторон $\varphi_M$. Ответ выразите в В, округлите до целого числа. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k=9\cdot 10^9$ Н$\cdot$ м$^2$/Кл$^2$.

Решение. Воспользуемся решением предыдущей задачи для решения этой – она нам поможет найти потенциал в центре.

$$\varphi_C=\varphi_1+\varphi_2+\varphi_3=\frac{k}{R}(q_1+q_2+q_3)=\frac{9\cdot 10^9\cdot 10^{-9}\cdot 300}{0,1}\cdot \sqrt{3}=46765,3$$

Теперь ищем потенциал в середине стороны. Два заряда на этой стороне отстоят от середины на расстояние $\frac{a}{2}$, а третий – на расстоянии высоты правильного треугольника $h= a\frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, потенциал в точке M

$$\varphi_M=\frac{2kq}{a}+\frac{2kq}{a}+\frac{2kq}{a\sqrt{3}}=\frac{2kq}{a}\cdot\left (2+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)= \frac{2\cdot 9\cdot 10^9\cdot 10^{-9}\cdot 100}{0,1}\cdot\left (2+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=46392,3$$

$$\varphi_C-\varphi_M =46765,3-46392,3=373$$

Ответ: 373 В

Задача 4.

Четыре точечных заряда $q=1$ мкКл расположены вдоль одной прямой, причём расстояния между соседними зарядами одинаковы и равны 20 см. Какую минимальную работу следует совершить, чтобы переместить заряды в вершины квадрата со стороной 20 см? Ответ выразите в мДж, округлите до целого числа. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k=9\cdot 10^9$ Н$\cdot$ м$^2$/Кл$^2$.

Решение. Переместим заряд 1 в точку $N$. При этом поле заряда 2 не работает – заряд 1 не меняет расстояния от заряда 2, или перемещается по эквипотенциальной поверхности. А вот поле зарядов 3 и 4 работает,

$$A_3=\frac{kq^2}{a\sqrt{2}}-\frac{kq^2}{2a}$$

$$A_4=\frac{kq^2}{ a\sqrt{5}}- \frac{kq^2}{3a}$$

Рисунок к задаче 4

Теперь перемещаем заряд 4 в точку $M$. При этом поле заряда 3 не работает, а работает поле заряда 2 и поле заряда 1 (который уже перемещен!):

$$A_2=\frac{kq^2}{a\sqrt{2}}-\frac{kq^2}{2a}$$

$$A_1=\frac{kq^2}{ a}- \frac{kq^2}{a\sqrt{5}}$$

Если сложить все работы, некоторые слагаемые сократятся:

$$A=A_1+A_2+A_3+A_4=\frac{2kq^2}{a\sqrt{2}}- \frac{kq^2}{3a}=\frac{kq^2}{a}\left(\sqrt{2}-\frac{1}{3}\right)=0,049$$

Ответ: 49 мДж

Задача 5.

Четыре точечных заряда $q=1$ мкКл расположены вдоль одной прямой, причём расстояния между соседними зарядами одинаковы и равны 10 см. Какую минимальную работу следует совершить, чтобы переместить заряды в вершины тетраэдра с ребром 10 см? Ответ выразите в мДж, округлите до целого числа. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k=9\cdot 10^9$ Н$\cdot$ м$^2$/Кл$^2$.

Решение. Переместим сначала заряд 1 в точку $K$. При этом поле заряда 2 не работает, потому что расстояние между зарядами не меняется. А работают поля зарядов 3 и 4:

$$A_3=\frac{kq^2}{a}-\frac{kq^2}{2a}$$

$$A_4=\frac{kq^2}{ a\sqrt{3}}- \frac{kq^2}{3a}$$

Рисунок к задаче 5

Теперь перемещаем заряд 4 в точку $L$, которая будет вершиной тетраэдра. При этом поле заряда 3 не работает, а работает поле заряда 2 и поле заряда 1 (который уже перемещен!):

$$A_2=\frac{kq^2}{a}-\frac{kq^2}{2a}$$

$$A_1=\frac{kq^2}{ a}- \frac{kq^2}{a\sqrt{3}}$$

Если сложить все работы, некоторые слагаемые сократятся:

$$A=A_1+A_2+A_3+A_4=\frac{2kq^2}{a}- \frac{kq^2}{3a}=\frac{kq^2}{a}\left(2-\frac{1}{3}\right)=0,150$$

Ответ: 150 мДж