Постоянный ток - задачник Добродеева. Часть 4

Задача 19.17.

Определить электрическое сопротивление $R_0$ проволочного каркаса в виде квадрата, середины противоположных сторон которого соединены между собой и в центре спаяны. Каркас включен в цепь диагональными вершинами. Сопротивление стороны квадрата $r$.

Рисунок к задаче 19.17

Решение. В таких задачах основное – найти распределение токов, которое бы не противоречило обоим законам Кирхгофа. При этом очень помогает симметрия, ее надо использовать. Начинать расставлять токи надо не от входа и не от выхода, а с самой удаленной от них ветви.

Вот пример начала такой работы:

И, с использованием первого закона, заканчиваем расстановку токов:

Окончательно подбираем распределение токов

Пусть пока сопротивление проводничка от узла до узла (или до сгиба) будет равно $R$, $R=\frac{r}{2}$. Тогда сопротивление можно найти, пройдя от входа до выхода любым путем и «собирая» по пути падения напряжений, а потом эту сумму падений напряжений разделить на входной ток. Прохожу по низу и правой стороне квадрата:

$$U=2IR+IR+IR+2IR=6IR$$

$$R_0=\frac{U}{4I}=\frac{6IR}{4I}=1,5R=\frac{3r}{4}$$

Ответ: $R_0=\frac{3r}{4}$

Задача 19.18.

Определить сопротивление проволочной сетки в виде правильного шестиугольника с тремя большими диагоналями, спаянными в центре, и включенной в цепь точками на концах одной диагонали. Сопротивление стороны шестиугольника $r$.

Рисунок  к задаче 19.18

Решение. Находим распределение токов. При этом следим за выполнением обоих законов Кирхгофа: сумма падений напряжений в замкнутом контуре равна нулю (потому что у нас источников внутри схем нет), и сумма входящих в узел токов равна сумме выходящих.

Найденное распределение, не противоречащее законам Кирхгофа

Сопротивление можно найти, пройдя от входа до выхода любым путем и «собирая» по пути падения напряжений, а потом эту сумму падений напряжений разделить на входной ток. Прохожу по низу шестиугольника:

$$U=3Ir+2Ir+3Ir=8Ir$$

$$R=\frac{U}{10I}=\frac{8Ir}{10I}=0,8r$$

Ответ: $R=0,8r$

Задача 19.19.

Определить сопротивление проволочного куба $R$ между точками А и В (рис.). Сопротивление каждого ребра равно $r$.

Рисунок к задаче 19.19

Решение. Аналогично, необходимо найти токораспределение.

Нашли распределение токов (иногда это совсем непросто)

Сопротивление можно найти, пройдя от входа до выхода любым путем и «собирая» по пути падения напряжений, а потом эту сумму падений напряжений разделить на входной ток. Прохожу по крайним нижним и правым ребрам куба:

$$U=2Ir+Ir+2Ir=5Ir$$

$$R=\frac{U}{6I}=\frac{5Ir}{6I}=\frac{5}{6}r$$

Ответ: $R=\frac{5}{6}r$

Задача 19.20.

Какой ток $I$ будет идти через амперметр? К цепи подведено напряжение $U$, величины сопротивлений указаны в схеме на рисунке. Внутреннее сопротивление амперметра пренебрежимо мало.

Рисунок к задаче 19.20

Решение. Чтобы решить задачу, необходимо опять же найти токораспределение.

Найденное распределение, позволяющее как найти общее сопротивление, так и решить задачу

Из рисунка видно, что через амперметр течет ток $I$, снизу вверх. Определяем сопротивление схемы: проходим по нижней ветке от входа до выхода, «собирая» по пути падения напряжений:

$$U=r\cdot 3I+2r\cdot 2I=7Ir$$

Делим на входной ток:

$$r_0=\frac{U}{6I}=\frac{7Ir}{6I}=\frac{7r}{6}$$

Тогда входной ток

$$6I=\frac{U}{r_0}=\frac{6U}{7r}$$

А ток через амперметр

$$I=\frac{U}{7r}$$

Ответ: $I=\frac{U}{7r}$

Задача 19.21.

Определите разность потенциалов $\varphi_1-\varphi_2$ между точками 1 и 2 участка цепи, показанного на рисунке. Постройте график зависимости $\varphi(x)$, направив ось $0х$ от точки 1 к точке 2 и приняв за начало отсчета точку 1. Ток $I$ направлен по оси $0х$.

Рисунок к задаче 19.21

Решение. При переходе через источник от минуса к плюсу (от малой клеммы к большой) потенциал растет на ЭДС источника. При обратном переходе – падает на ту же величину. На всех сопротивлениях потенциал падает (не зря же говорят «падение напряжения»). На диаграмме показаны все падения напряжений на данном участке, и только в одном месте потенциал растет:

Потенциальная диаграмма

$$\varphi_1-IR_1-Ir_1-\varepsilon_1-IR_2-Ir_2+\varepsilon_2=\varphi_2$$

$$\varphi_1-\varphi_2=I(R_1+r_1+R_2+r_2)+ \varepsilon_1-\varepsilon_2$$

Ответ: $\varphi_1-\varphi_2=I(R_1+r_1+R_2+r_2)+ \varepsilon_1-\varepsilon_2$