Метод потенциалов - 2

Задача 4.

Определить токи в схеме методом узловых потенциалов.

Рисунок к задаче 4

Решение. Начнем с того, что присвоим нулевой потенциал любой произвольной, удобной нам точке и все остальные потенциалы интересующих нас точек будем отсчитывать от нее. При этом мы считаем, что провода обладают нулевым сопротивлением. А при переходе через источник потенциал будем увеличивать на ЭДС источника.

Выбираем ноль:

Переходим через источники:

Ток в центральной ветке (вниз):

$$\frac{3\varepsilon-2\varepsilon}{R}=\frac{\varepsilon}{R}$$

Ток в левой ветке (вниз):

$$\frac{3\varepsilon-\varepsilon}{2R}=\frac{\varepsilon}{R}$$

Ток через источник $3\varepsilon$ равен сумме этих двух: $\frac{2\varepsilon}{R}$.

Задача 5.

Определить токи в схеме методом узловых потенциалов.

Рисунок к задаче 5

Решение. Начнем с того, что присвоим нулевой потенциал любой произвольной, удобной нам точке и все остальные потенциалы интересующих нас точек будем отсчитывать от нее. При этом мы считаем, что провода обладают нулевым сопротивлением. А при переходе через источник потенциал будем увеличивать на ЭДС источника.

Выбираем ноль, переходим через источники:

Обозначаем неизвестный потенциал за $\varphi$:

В этой схеме непонятно, как соотносятся $\varphi$ и $\varepsilon$. Но может быть и так, что $\varphi >\varepsilon$. Примем, что это так, и тогда можно выбрать направления токов. В левой ветке – вниз, $\frac{\varphi-\varepsilon}{R}$, в центральной – вниз, $\frac{\varphi-\varepsilon}{2R}$, тогда в правой – вверх, $\frac{2\varepsilon-\varphi}{R}$.

Направления токов

Составляем уравнение по первому закону Кирхгофа:

$$\frac{\varphi-\varepsilon}{R}+\frac{\varphi-\varepsilon}{2R}=\frac{2\varepsilon-\varphi}{R}$$

$$\frac{3(\varphi-\varepsilon)}{2R}=\frac{2\varepsilon-\varphi}{R}$$

$$\frac{3(\varphi-\varepsilon)}{2}=2\varepsilon-\varphi$$

$$5\varphi=7\varepsilon$$

$$\varphi=1,4\varepsilon$$

Тогда понятно, что ток в левой ветке $\frac{\varphi-\varepsilon}{R}=\frac{0,4\varepsilon}{R}$, ток в центральной $\frac{\varphi-\varepsilon}{2R}=\frac{0,2\varepsilon}{R}$, ток в правой - $\frac{2\varepsilon-\varphi}{R}=\frac{2\varepsilon-1,4\varepsilon}{R}=\frac{0,6\varepsilon}{R}$.

Задача 6.

Определить токи в схеме методом узловых потенциалов.

Рисунок к задаче 6

Решение. Начнем с того, что присвоим нулевой потенциал любой произвольной, удобной нам точке и все остальные потенциалы интересующих нас точек будем отсчитывать от нее. При этом мы считаем, что провода обладают нулевым сопротивлением.

Выбираем ноль. Так как на перемычке ничего не падает, при переходе через нее потенциал остался нулевым:

Переходим через источник:

Расставим направления некоторых токов:

$$I_1=\frac{\varepsilon-0}{3R}$$

$$I_2=\frac{\varepsilon-0}{2R}$$

$$I_3=\frac{\varepsilon-0}{R}$$

Ток в перемычке сверху равен, очевидно, сумме $I_1+I_2$:

$$\frac{\varepsilon}{3R}+\frac{\varepsilon}{2R}=\frac{5\varepsilon}{6R}$$

Ток в перемычке снизу равен, очевидно, сумме $I_2+I_3$:

$$\frac{\varepsilon}{2R}+\frac{\varepsilon}{R}=\frac{3\varepsilon}{2R}$$

Ток через источник равен сумме тока в верхней перемычке и тока $I_3$:

$$\frac{5\varepsilon}{6R}+\frac{\varepsilon}{R}=\frac{11\varepsilon}{6R}$$

Проверяем, чтобы для любого узла первый закон Кирхгофа соблюдался и на этом все. Совет: для удобства я все токи, которые нашла, обозначаю на рисунке (для наглядности).