Метод потенциалов - 1

Задача 1.

Определить токи в схеме методом узловых потенциалов.

Рисунок к задаче 1

Решение. Начнем с того, что присвоим нулевой потенциал любой произвольной, удобной нам точке и все остальные потенциалы интересующих нас точек будем отсчитывать от нее. При этом мы считаем, что провода обладают нулевым сопротивлением. А при переходе через источник потенциал будем увеличивать на ЭДС источника.

Выбираем ноль:

Выбираем, где будет точка с нулевым потенциалом

Переходим через источник:

Переходим через источник

Обозначаем неизвестный потенциал за $\varphi$:

Теперь вся подготовительная работа проведена, и можно записать первый закон Кирхгофа. Ток через верхний резистор $I_1=\frac{\varphi-0}{R}$, через нижний $I_2=\frac{\varphi-0}{2R}$, через источник будет течь ток, равный сумме вышеуказанных (с одной стороны), а с другой - $I_3=\frac{\varepsilon-\varphi}{R}$:

$$\frac{\varepsilon-\varphi}{R}=\frac{\varphi}{R}+\frac{\varphi}{2R}$$

Обозначаем токи, чтобы составить первый закон

$$\varepsilon-\varphi=\varphi+\frac{\varphi}{2}$$

$$2,5\varphi=\varepsilon$$

$$\varphi=0,4\varepsilon$$

Теперь, когда знаем потенциал этой неизвестной точки, можем определить все токи:

$$I_1=\frac{0,4\varepsilon }{R}$$

$$ I_2=\frac{0,4\varepsilon }{2R}=\frac{0,2\varepsilon }{R}$$

$$I_3=\frac{0,6\varepsilon }{R}$$

Ответ: $I_1=\frac{0,4\varepsilon }{R}$, $ I_2=\frac{0,2\varepsilon }{R}$, $I_3=\frac{0,6\varepsilon }{R}$.

Задача 2.

Определить токи в схеме методом узловых потенциалов.

Рисунок к задаче 1

Решение. Начнем с того, что присвоим нулевой потенциал любой произвольной, удобной нам точке и все остальные потенциалы интересующих нас точек будем отсчитывать от нее. При этом мы считаем, что провода обладают нулевым сопротивлением. А при переходе через источник потенциал будем увеличивать на ЭДС источника.

Выбираем ноль:

Выбираем, где будет точка с нулевым потенциалом

Переходим через источники:

Переходим через источник

Обозначаем неизвестный потенциал за $\varphi$:

Записываем первый закон Кирхгофа. Так как предполагается, что $\varepsilon>\varphi$, то ток через верхний резистор $I_1=\frac{\varepsilon-\varphi}{R}$ (влево, потому что от большего потенциала к меньшему), через нижний $I_2=\frac{\varphi-0}{2R}$ (вправо), через источник будет течь ток $I_3=\frac{\varepsilon-\varphi}{R}$ (вправо):

$$\frac{\varepsilon-\varphi}{R}-\frac{\varphi}{2R}+\frac{\varepsilon-\varphi}{R}=0$$

Расставляем токи для составления уравнения по Кирхгофу

$$\varepsilon-\varphi-\frac{\varphi}{2}+\varepsilon-\varphi =0$$

$$2,5\varphi=2\varepsilon$$

$$\varphi=0,8\varepsilon$$

Теперь, когда знаем потенциал этой неизвестной точки, можем определить все токи:

$$I_1=\frac{\varepsilon-0,4\varepsilon }{R}=\frac{0,6\varepsilon }{R}$$

$$ I_2=\frac{0,8\varepsilon }{2R}=\frac{0,4\varepsilon }{R}$$

$$I_3=\frac{\varepsilon-0,8\varepsilon }{R}=\frac{0,2\varepsilon }{R}$$

Ответ: $I_1=\frac{0,6\varepsilon }{R}$, $ I_2=\frac{0,4\varepsilon }{R}$, $I_3=\frac{0,2\varepsilon }{R}$.

Задача 3.

Определить ток через амперметр в схеме методом узловых потенциалов, $R=1$ Ом.

Рисунок к задаче 3

Решение. Начнем с того, что присвоим нулевой потенциал любой произвольной, удобной нам точке и все остальные потенциалы интересующих нас точек будем отсчитывать от нее. При этом мы считаем, что провода обладают нулевым сопротивлением. А при переходе через источник потенциал будем увеличивать на ЭДС источника.

Выбираем ноль:

Выбираем ноль

Переходим через источники:

Переходим через источники

Ток в правой ветке $\frac{5-3}{2}=1$ А, ток в левой ветке $\frac{2-0}{1}=2$ А, ток через амперметр $2-1=1$ А (вниз).

Ответ: 1 А.