Диэлектрики - 2: задачи Сириуса

Задача 1.

Плоский конденсатор наполовину заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon=2$ и заряжен до напряжения $U=100$ В. Расстояние между его обкладками $d=5$ мм.

Найдите модуль напряженности электрического поля $E_1$ в верхней (незаполненной) половине конденсатора. Ответ выразите в кВ/м, округлите до целого числа.

Найдите модуль напряженности электрического поля $E_2$ в нижней (заполненной диэлектриком) половине конденсатора. Ответ выразите в кВ/м, округлите до целого числа.

Чему равна абсолютная величина плотности поляризационного заряда на границах диэлектрика? Электрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85\cdot 10^{−12}$ ед. СИ. Ответ выразите в мкКл/м$^2$, округлите до сотых.

Рисунок к первой задаче

Решение. Для верхней незаполненной половины

$$E=\frac{U}{d}=\frac{100}{0,005}=20000$$

В нижней, заполненной, половине, напряженность такая же. Да, там появится индуцированный заряд, который создаст свое поле, направленное встречно и ослабляющее основное, но и зарядов на пластинах конденсатора там больше в $\varepsilon$ раз. То есть поле, созданное пластинами, в два раза сильнее, но ослабляется поляризационным зарядом диэлектрика.

Определяем плотность поляризационного заряда:

$$\sigma=E\varepsilon_0=20000\cdot 8,85\cdot 10^{−12}=0,177\cdot 10^{-6}$$

Ответ: $E=20$ кВ/м, $\sigma=0,18$ мкКл/м$^2$.

Задача 2.

Между обкладками плоского конденсатора находятся две диэлектрические пластины: одна толщиной $d=0,885$ мкм из материала с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon=10$, другая толщиной $2d$ из материала с проницаемостью $2\varepsilon$. Конденсатор подключен к источнику с ЭДС $U=48$ В. Размеры обкладок конденсатора значительно больше расстояния между ними. Электрическая постоянная $\varepsilon_0=c$ ед. СИ.

Рисунок к задаче 2

 Найдите поверхностную плотность свободных зарядов на верхней обкладке конденсатора. Ответ выразите в мКл/м$^2$, округлив до десятых.

Чему равна суммарная поверхностная плотность поляризационных зарядов на границе раздела диэлектриков? Ответ выразите в мКл/м$^2$, округлите до сотых.

Решение. Разобьем конденсатор на два. Они включены последовательно, и на них, следовательно, одинаковый заряд. Емкости их тоже одинаковы:

$$C_1=\frac{\varepsilon_1 \varepsilon_0 S}{2d}=\frac{2\varepsilon \varepsilon_0 S}{2d}=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$$

$$C_2=\frac{\varepsilon_2 \varepsilon_0 S}{d}=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$$

Значит, и напряжение на конденсаторах одно и то же: 24 В на каждом. Тогда поверхностная плотность свободных зарядов на верхней обкладке конденсатора:

$$\sigma_1=E\varepsilon_0 \cdot 2\varepsilon=\frac{U}{2d}\varepsilon_0 \cdot 2\varepsilon=\frac{24}{2\cdot 0,885\cdot 10^{-6}}\cdot 8,85\cdot 10^{−12}\cdot 20=24\cdot 10^{-4}$$

Это 2,4 мКл/м$^2$.

На нижней обкладке:

$$\sigma_2=-E\varepsilon_0 \cdot \varepsilon=-\frac{U}{d}\varepsilon_0 \cdot \varepsilon=-\frac{24}{0,885\cdot 10^{-6}}\cdot 8,85\cdot 10^{−12}\cdot 10=-24\cdot 10^{-4}$$

Это -2,4 мКл/м$^2$.

Неудивительно, правда?

На нижней границе рыжего диэлектрика плотность поверхностных зарядов будет в 20 раз (таково $2\varepsilon$) меньше, чем на верхней обкладке конденсатора:

$$\sigma_v=-\frac{\sigma_1}{2\varepsilon}=-\frac{24\cdot 10^{-4}}{20}=-12\cdot 10^{-5}$$

На верхней границе желтого диэлектрика плотность поверхностных зарядов будет в 10 раз (таково $\varepsilon$) меньше, чем на нижней обкладке конденсатора:

$$\sigma_n=\frac{\sigma_2}{\varepsilon}=\frac{24\cdot 10^{-4}}{10}=24\cdot 10^{-5}$$

Суммарная плотность – результат суммирования $\sigma_v$ и $\sigma_n$, и это $12\cdot 10^{-5}$ Кл/м$^2$, или 0,12 мКл/м$^2$.

Ответ:  поверхностная плотность свободных зарядов на верхней обкладке конденсатора 2,4 мКл/м$^2$, плотность поляризационных зарядов на границе раздела диэлектриков – 0,12 мКл/м$^2$.

Задача 3.

Внутренняя обкладка сферического конденсатора, имеющая радиус 2 см, окружена сферическим слоем диэлектрика с диэлектрической проницаемостью 2. Внешний радиус диэлектрического слоя 4 см. Остальная часть конденсатора заполнена воздухом. Определить, какой максимальный заряд можно сообщить такому конденсатору, если электрическая прочность воздуха и диэлектрика одинакова и равна 30 кВ/м. Ответ выразите в нКл, округлив до десятых. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона равен $k=9\cdot 10^9$ Н$\cdot$м$^2$/Кл$^2$.

Замечание. Электрическая прочность — минимальная напряжённость электрического поля, при которой наступает электрический пробой вещества.

Решение. Нам дали максимальную напряженность поля. Она равна

$$E_{pr} (R-r)=\frac{kq}{ r}-\frac{kq}{\varepsilon r}$$

Здесь первое слагаемое – потенциал внутренней заряженной сферы, второе – потенциал, создаваемый связанным зарядом на поверхности диэлектрика.

Отсюда

$$E_{pr} =\frac{kq}{ r(R-r)}-\frac{kq}{\varepsilon(R- r)}=\frac{kq}{r^2}\left(1-\frac{1}{\varepsilon}\right)$$

$$q=\frac{E_{pr} r^2 \varepsilon}{k(\varepsilon-1)}=\frac{30000\cdot 0,02^2\cdot 2}{9\cdot 10^9}=2,7\cdot 10^{-9}$$

Ответ: 2,7 нКл

Задача 4.

Пространство между двумя концентрическими сферами радиусами 10 см и 15 см, несущими заряды $q_1=20$ нКл и $q_2=−10$ нКл соответственно, заполнено диэлектриком с проницаемостью $\varepsilon=3$. Найдите потенциалы сфер. Ответы выразите в В, округлите до целого числа. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона равен $k=9\cdot 10^9$ Н$\cdot$м$^2$/Кл$^2$.

Решение. Потенциал внешней сферы найдем, зная суммарный заряд внутри нее

$$\varphi_{vnesh}=\frac{kq_{sum}}{R}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 10\cdot 10^{-9}}{0,15}=\frac{900}{0,15}=600$$

Потенциал внутренней сферы cложится из потенциала, создаваемого зарядом на ней,  потенциалом внешней сферы, потенциалом связанного заряда на внутренней поверхности диэлектрика (отрицательного), и потенциалом связанного заряда на внешней поверхности диэлектрика (положительного).

При этом на внутренней поверхности диэлектрика будет заряд такой же (отрицательный, $-q_{pol}$), как и на внешней (положительный, $+q_{pol}$), а отношение модулей зарядов (сумм наведенных и зарядов сфер) должно остаться таким же, как и отношение зарядов сфер. Отношение модулей зарядов сфер

$$\frac{\mid q_1 \mid}{\mid q_2 \mid }=2$$

Поэтому

$$\frac{q_1-q_{pol}}{q_2+q_{pol}}=2$$

Отсюда

$$20- q_{pol}=2q_2+2 q_{pol}$$

$$20+20=3q_{pol}$$

$$q_{pol}=13,3$$

Итак, на внешнем крае диэлектрика наведенный заряд $+13,3$ нКл, а на внутренней $+13,3$ нКл. Теперь, зная это, определяем потенциал внутренней сферы:

$$\varphi_{vnut}=\frac{kq_1}{r}-\frac{kq_{pol}}{r}-\frac{kq_2}{R}+\frac{kq_{pol}}{R}$$

$$\varphi_{vnut}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 20\cdot 10^{-9}}{0,1}-\frac{9\cdot 10^9\cdot 13,3\cdot 10^{-9}}{0,1}-\frac{9\cdot 10^9\cdot 10\cdot 10^{-9}}{0,15}+\frac{9\cdot 10^9\cdot 13,3\cdot 10^{-9}}{0,15}$$

 $$\varphi_{vnut}=1800-1200-600+800=800$$

Сразу же найдем и абсолютное значение плотности поляризационного заряда на внутренней границе диэлектрика:

$$\sigma_1=\frac{q_{pol}}{4\pi r^2}=\frac{13,3\cdot 10^{-9}}{4\cdot 3,14\cdot 0,1^2}=106$$

А на внешней она будет в 2,25 раза меньше – так как коэффициент подобия между сферами 1,5 и поверхность большей в 2,25 раза больше – 47 нКл/м$^2$.

Ответ: потенциал внешней сферы 600 В, внутренней – 800 В, поверхностная плотность связанного заряда на внутреннем крае диэлектрика 106 нКл/м$^2$, на внешнем 47 нКл/м$^2$.