Диэлектрики - 1: задачи Сириуса

Задача 1.

Два одинаковых заряженных шарика, подвешенных на тонких невесомых нитях одинаковой длины, опускают в керосин. Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы угол между нитями при погружении не изменился? Диэлектрическая проницаемость керосина равна 2, а его плотность 0,8 г/см$^3$. Ответ выразите в г/см$^3$, округлите до десятых. Считайте, что керосин заполняет всё пространство, занятое полем.

Решение. Сделаем два рисунка: на одном шарики подвешены в воздухе, на другом – в керосине. Расставим силы.

Рисунок к задаче 1

Для левой картинки (в воздухе):

$$mg=T\cos \alpha$$

$$F_q=T\sin \alpha$$

Откуда

$$\operatorname{tg} \alpha =\frac{F_q}{mg}$$

Для правой картинки (в керосине):

$$mg=T\cos \alpha+F_A$$

$$\frac{F_q}{\varepsilon}=T\sin \alpha$$

$$\operatorname{tg} \alpha =\frac{\frac{F_q}{\varepsilon}}{mg-F_A}$$

Так как угол один и тот же, можем его тангенсы приравнять:

$$\frac{F_q}{mg}=\frac{\frac{F_q}{\varepsilon}}{mg-F_A}$$

$$\frac{1}{mg}=\frac{1}{\varepsilon(mg-F_A)}$$

Получаем

$$mg=\varepsilon(mg-F_A)$$

$$mg(1-\varepsilon)=- \varepsilon F_A$$

Распишем массу и силу Архимеда и сменим знаки:

$$\rho_{sh} V g(\varepsilon-1)= \varepsilon \rho g V$$

Сократим:

$$\rho_{sh} (\varepsilon-1)= \varepsilon \rho $$

Откуда

$$\rho_{sh}=\frac{\varepsilon \rho }{\varepsilon-1}=\frac{2\cdot 800 }{2-1}=1600$$

Ответ: 1600 кг/м$^3$.

Задача 2.

В центре незаряженной проводящей тонкостенной сферы радиусом 15 см расположен точечный заряд 10 нКл. Всё пространство внутри сферы заполнено однородным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon=2$. Снаружи — вакуум. Найдите потенциал сферы. Ответ выразите в В, округлив до целого числа. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона равен $k=9\cdot 10^9$ Н$\cdot$м$^2$/Кл$^2$.

Решение. Определяем потенциал, как если бы диэлектрика не было – потому что, находясь на поверхности шара, нам неведомо, чем он заполнен, поле его аналогично полю точечного заряда. На поверхности сферы, считаем, возникнет индуцированный заряд, равный заряду $q$, поэтому

$$\varphi_{vne}=\frac{kq}{r}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 10^{-8}}{0,15}=600$$

Этот потенциал, стоит нам рассмотреть точку внутри диэлектрика, будет ослаблен вдвое (из-за диэлектрической проницаемости $\varepsilon=2$).

Ответ: 600 В.

Задача 3.

В условиях предыдущей задачи определите потенциал поля на расстоянии 5 см от центра сферы. Ответ выразите в В, округлив до целого числа.

Решение. На расстоянии 5 см от центра заряд создаст потенциал

$$\varphi_{vnutri}=\frac{kq}{r_1\varepsilon}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 10^{-8}}{0,05\cdot 2}=900$$

Диэлектрик внутри сферы не имеет зарядов, и он ослабляет поле вдвое.

Но точка внутри сферы находится под потенциалом сферы, найденным нами в предыдущей задаче и ослабленным вдвое диэлектриком. Поэтому искомый потенциал - сумма потенциалов:

$$\varphi_{iskom}=\varphi_{vnutri}+\frac{\varphi_{vne}}{\varepsilon}=900+300=1200$$

Ответ: 1200 В.