Частицы (учебник Мякишева-Синякова)

Еще несколько задач из учебника Мякишева 10-11, упражнение 3.

Задача 1.

Четыре одинаковых заряженных маленьких шарика, заряды которых $q$ и массы $m$, расположены в вершинах квадрата со стороной $a$. Какой максимальной скорости достигнут шарики, если их отпустить?
Решение: максимальной скорость станет, когда вся потенциальная энергия взаимодействия перейдет в кинетическую энергию шариков. Так как картинка симметричная, с какой стороны ни посмотри, то шарики наберут одинаковые скорости. Давайте запишем закон сохранения энергии. Для того, чтобы правильно записать потенциальную энергию их взаимодействия, я должна записать, что каждый шарик взаимодействует с каждым. Когда такая энергия записана, я отмечаю соответствующую сторону квадрата или его диагональ. Всего 4 стороны и две диагонали:
$$4\cdot\frac{m\upsilon^2}{2}=4\frac{kq^2}{a}+2\frac{kq^2}{a\sqrt{2}}$$
$$ \upsilon^2=2\frac{kq^2}{a m }+\frac{kq^2}{am\sqrt{2}}$$
$$ \upsilon=\sqrt{4\frac{kq^2}{2am }+\frac{kq^2\sqrt{2}}{2am}}$$
$$ \upsilon=q\sqrt{\frac{k(4+\sqrt{2}}{2am }}$$
Ответ: $ \upsilon=q\sqrt{\frac{k(4+\sqrt{2}}{2am }}$

Задача 2.

Из бесконечности к металлической пластине движется точечный заряд $+q$. Определите энергию взаимодействия заряда и пластины, а также скорость заряда в тот момент, когда он будет находиться на расстоянии $d$ от пластины. Находясь на бесконечно большом расстоянии от пластины, заряд имел скорость, равную нулю.
Решение: Находясь бесконечно далеко, заряд имел нулевую энергию (скорость – ноль, и расстояние большое, потенциальная энергия тоже ноль). А потом он приобрел кинетическую энергию, а также и потенциальную.
$$\frac{m\upsilon^2}{2}+E_p=0$$
Отсюда понятно, что потенциальная энергия – отрицательна.
Если применяем метод зеркальных отображений, и вместо пластины у нас отрицательный заряд $-q$, расположенный от пластины на расстоянии $d$, а от заряда $+q$ - на расстоянии $2d$, то сила взаимодействия заряда $+q$  и мнимого заряда $-q$ на расстоянии $2d$ такая же, как и заряда $+q$ и пластины на расстоянии $d$. Но перемещение окажется в два раза меньше! Работа на маленьком участке будет в два раза меньше. А значит, и энергия тоже. Поэтому находим энергию взаимодействия двух зарядов на расстоянии $2d$, и делим пополам (не забываем про знак):
$$W=-\frac{kq^2}{2d\cdot 2}=-\frac{kq^2}{4d}$$
Таким образом,
$$\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{kq^2}{4d}$$
$$ \upsilon^2=\frac{kq^2}{2d m }$$
$$\upsilon=\sqrt{\frac{kq^2}{2d m }}$$
Ответ: $W=-\frac{kq^2}{4d}$, $\upsilon=\sqrt{\frac{kq^2}{2d m }}$

Задача 3.

Частица массой $m$, имеющая заряд $+q$, расположена на расстоянии $H$ от большой проводящей поверхности. Определить скорость частицы на расстоянии $h (h<<H)$ от пластины, если она начинает своё падение из состояния покоя.
Решение: Здесь тоже воспользуемся законом сохранения энергии. Разность потенциальных энергий (конечной и начальной) будет равна кинетической энергии частицы:
$$\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{kq^2}{2h}-\frac{kq^2}{2H}$$
$$ kq^2\cdot \frac{H-h}{Hh}= m\upsilon^2$$
$$\upsilon^2= kq^2\cdot \frac{H-h}{mHh}$$
$$\upsilon=q\sqrt{\frac{k(H-h)}{mHh}}$$
Ответ: $\upsilon=q\sqrt{\frac{k(H-h)}{mHh}}$