Олимпиадная подготовка по электростатике – 9

Задачи, представленные в этой статье, требуют минимального владения теорией. Необходимо представлять себе, что такое Гауссова поверхность, как формулируется теорема Гаусса, как влияет поле на диэлектрики, что такое потенциал и эквипотенциальная поверхность...

Задача 7.

Две пластины конденсатора короткозамкнуты. Этот конденсатор  помещен во внешнее поле, перпендикулярное плоскости пластин. Найти $E_0$ этого поля, если известны площадь пластин $S$, расстояние между ними $d$ ($d<<\sqrt{S}$ - пренебрегаем краевыми эффектами). Также известно, что, если правую пластину приблизить к левой до расстояния $\frac{d}{3}$, то будет совершена работа $A$.

Решение.

К задаче 1

Так как пластины закорочены, то между ними $E=0$. Пластины конденсатора приобретут заряды $q$ и $-q$. Таким образом, при приближении пластины заряд будет перемещаться вместе с ней. Сила, действующая на пластины, как мы знаем, направлена туда, где поле больше, где линии гуще – то есть наружу. И перемещая пластину конденсатора влево, мы работаем против этой силы.

$$F=\omega S=\frac{E_0^2 S}{k\cdot 8\pi}$$

$\omega$ - плотность энергии поля.

Работа против силы $F$:

$$A=F\cdot \frac{2}{3}d=\frac{E_0^2 S d}{12 \pi k}$$

Откуда $E_0$:

$$E_0=\sqrt{\frac{12\pi k A}{Sd}}=\sqrt{\frac{3A}{\varepsilon_0 Sd}}$$

Можно было решать задачу по-другому:

$$F=\frac{E_0}{2}q$$

$$E_0=k\cdot 4\pi \sigma$$

Отсюда заряд

$$q=\sigma S=\frac{SE_0}{k\cdot 4\pi}$$

Тогда

$$F=\frac{SE_0^2}{k\cdot 8\pi}$$

Далее работа находится так же.

Ответ: $E_0=\sqrt{\frac{12\pi k A}{Sd}}=\sqrt{\frac{3A}{\varepsilon_0 Sd}}$.

Задача 8.

В плоский конденсатор, подключенный к источнику с ЭДС $\varepsilon$, вставлена пластина с зарядом $q$. Пластина расположена на расстоянии $d_1$ от левой пластины и $d_2$ от правой. Площади всех пластин $S$. Найти силу, действующую со стороны поля на внесенную пластину.

Решение.

К задаче 2

Так как пластина заряжена, то она имеет собственное поле

$$E_{sob}=k\cdot 2\pi \sigma$$

Слева от пластины напряженность поля будет $E_1$, а справа $E_2$. Это результат взаимодействия собственного поля пластины с полем конденсатора $E_0$.

$$\varepsilon=E_1d_1+E_2d_2$$

$$E_1=E_0-E_{sob}=E_0- k\cdot 2\pi \sigma$$

$$E_2= E_0+E_{sob}=E_0+ k\cdot 2\pi \sigma$$

Тогда

$$\varepsilon=E_0d_1- k\cdot 2\pi \sigma d_1+E_0d_2+ k\cdot 2\pi \sigma d_2$$

$$E_0=\frac{\varepsilon }{d_1+d_2}+\frac{ k\cdot 2\pi \sigma (d_1-d_2)}{ d_1+d_2}=\frac{\varepsilon S+ k\cdot 2\pi q (d_1-d_2)}{S(d_1+d_2)}$$

Так как $F=qE_0$, то

$$F=\frac{\varepsilon S q+ k\cdot 2\pi q^2 (d_1-d_2)}{S(d_1+d_2)}$$

Ответ: $F=\frac{\varepsilon S q+ k\cdot 2\pi q^2 (d_1-d_2)}{S(d_1+d_2)}$

Задача 9.

К кольцу радиуса $R$ и с распределенным по нему зарядом $Q$ движется из бесконечности шарик с зарядом $q$ и массой $m$. Скорость шарика на бесконечности $\upsilon$. Какой массой $M$ должно обладать кольцо, чтобы шарик его не преодолел?

Решение. Шарик и кольцо имеют одинаковые заряды, поэтому при приближении шарика кольцо начнет отталкиваться от него и «убегать». Если при этом шарик и кольцо достигнут одинаковых скоростей, то шарик кольца не достигнет. По закону сохранения импульса:

$$m\upsilon=(M+m)u$$

$u$ - та самая одинаковая скорость кольца и шарика.

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{(m+M)u^2}{2}+P$$

$P$ - потенциальная энергия взаимодействия кольца и шарика.

$$P=\frac{kqQ}{R}$$

Выражаем $u$ из закона сохранения импульса и подставляем все в ЗСЭ:

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{(m+M)}{2}\cdot \frac{m^2\upsilon^2}{(M+m)^2}+P$$

$$\frac{m\upsilon^2}{2}\left(1-\frac{m}{m+M}\right)= P$$

$$M m\upsilon^2=2P M+2P m$$

$$M=m\frac{2P}{m\upsilon^2-2P}$$

$$M\geqslant \frac{m}{\frac{m\upsilon^2}{2P}-1}=\frac{m}{\frac{m\upsilon^2R}{2qQk}-1}$$

Ответ: $M\geqslant \frac{m}{\frac{m\upsilon^2R}{2qQk}-1}$.

Задача 10.

В центре закрепленного кольца радиуса $R$ с распределенным по кольцу зарядом $Q$ удерживают шарик массой $m$ и с зарядом $2Q$. Шарик отпускают. Какую скорость он приобретет, когда окажется на расстоянии $\frac{4R}{3}$ от кольца?

К задаче 10

Энергия взаимодействия вначале

$$ W_1=\frac{kQ\cdot 2Q}{R}$$

$$x=\frac{4R}{3}$$

Теперь найдем энергию взаимодействия на данном расстоянии:

$$W_2=\frac{2kQ^2}{l}$$

Где

$$l=\sqrt{R^2+x^2}=R\sqrt{1+\frac{16}{9}}=\frac{5R}{3}$$

Составляем ЗСЭ:

$$\frac{k\cdot 2Q^2}{R}=\frac{m\upsilon^2}{2}+\frac{ k\cdot 2Q^2}{\frac{5R}{3}}$$

$$\upsilon=\sqrt{\frac{8kQ}{5mR}}$$
Ответ: $\upsilon=\sqrt{\frac{8kQ}{5mR}}$.