Олимпиадная подготовка по электростатике – 7

Задачи, представленные в этой статье, требуют минимального владения теорией. Необходимо представлять себе, что такое Гауссова поверхность, как формулируется теорема Гаусса, как влияет поле на диэлектрики, что такое потенциал и эквипотенциальная поверхность...

Задача 1.

Конденсатор подключен к источнику энергии с ЭДС $\varepsilon$. Диполь с плечом $l$ и массой $m$ имеет на бесконечном удалении от конденсатора скорость $\upsilon_0$. Заряды диполя - $q$ и $-q$, ориентация показана на рисунке. Он влетает в пространство между пластинами, расстояние между которыми $d$. Какая у него будет скорость $\upsilon$?

К задаче 1

Решение. Поле конденсатора существует и вне его. Оно, конечно, слабое. Можно нарисовать его эквипотенциальные поверхности: внутри пластин они параллельны пластинам, а снаружи конденсатора искривляются, оставаясь перпендикулярными линиям поля. Таким образом, когда диполь приближается к конденсатору, каждый его заряд пересекает эти эквипотенциальные поверхности, а значит, совершается работа. На эту-то работу и пойдет часть энергии диполя и его скорость внутри конденсатора будет меньше, чем на удалении.

Совершается работа по перемещению обоих зарядов диполя:

$$A=qE\frac{l}{2}+ qE\frac{l}{2}$$

$$A=qEl$$

По закону сохранения энергии

$$\frac{m\upsilon_0^2}{2}=\frac{m\upsilon^2}{2}+ qEl$$

Откуда

$$\upsilon^2=\upsilon_0^2-\frac{2 qEl }{m}=\upsilon_0^2-\frac{2 q\varepsilon l }{m d}$$

$$\upsilon=\sqrt{\upsilon_0^2-\frac{2 q\varepsilon l }{m d}}$$

Замечу, что, если бы ориентация диполя была бы иной – не плюс к плюсу, как на картинке, а наоборот, то диполь наоборот, ускорился бы.

Ответ: $\upsilon=\sqrt{\upsilon_0^2-\frac{2 q\varepsilon l }{m d}}$.

Задача 2.

Имеется бесконечно протяженная пластина. Известно, что слева от пластины поле имеет напряженность $E_1$, а справа - $E_2$. Чему равна сила, действующая на единицу площади этой пластины?

К задаче 2

Решение. Такая конфигурация возможна, если у пластины есть свое поле $E_{sob}$, и такая пластина помещена во внешнее поле $E_0$.

Восстанавливаем картину поля

То есть

$$E_1= E_{sob}-E_0$$

$$E_2= E_{sob}+E_0$$

Собственное поле пластины

$$ E_{sob}=k\cdot 2\pi \sigma$$

$$\sigma=\frac{ E_{sob}}{2\pi k}$$

Решение системы даст

$$E_0=\frac{1}{2}(E_1+E_2)$$

$$E_{sob}=\frac{1}{2}(E_2-E_1)$$

Сила, действующая на поверхность, равна

$$f=\sigma E_0=\frac{ E_{sob} E_0}{2\pi k}=\frac{1}{2}(E_1+E_2)\cdot\frac{1}{2}(E_2-E_1)\cdot \frac{ 1}{2\pi k}$$

$$f=\frac{E_2^2-E_1^2}{8\pi k}=\omega_2-\omega_1$$

То есть сила, действующая на единицу поверхности, численно равна разности плотностей энергий полей! Сила эта направлена в ту сторону, где линии поля гуще, у нас вправо.

Ответ: $f=\frac{E_2^2-E_1^2}{8\pi k}$.

Задача 3.

Имеются два конденсатора, отличающихся только расстоянием между пластинами: у первого $d$, у второго $\frac{d}{2}$. Заряжены конденсаторы до одного и того же заряда. Найти отношение энергий системы конденсаторов в первом случае и во втором, когда меньший конденсатор вдвинули в больший.

К задаче 3

Решение. Энергия системы конденсаторов вначале:

$$W_n=\frac{E_1^2}{8k\pi}\left(dS+\frac{d}{2}S\right)=\frac{3}{2}dS\frac{E_1^2}{k\cdot 8\pi}$$

Вдвинули меньший конденсатор в большой

Энергия в конце:

$$W_k=\frac{E_1^2}{8k\pi}\cdot \frac{d}{2}S+\frac{E_2^2}{8k\pi}\cdot \frac{d}{2}S=\frac{d}{2}S\cdot \frac{E_1^2(1+4)}{8k\pi}=\frac{5}{2}dS\frac{E_1^2}{k\cdot 8\pi}$$

Отношение

$$\frac{ W_k }{ W_n }=\frac{5}{3}$$

Ответ: $\frac{ W_k }{ W_n }=\frac{5}{3}$.