Олимпиадная подготовка по электростатике – 6

Задачи этой статьи подойдут и десятиклассникам. Нужно знать, как находить энергию взаимодействия зарядов.

Задача 4.

На горизонтальной поверхности расположены три маленьких одноименно заряженных шарика, заряды которых $q, 2q, q$, а массы $2m, m, 2m$ соответственно. Шарики соединены невесомыми, нерастяжимыми и непроводящими нитями длиной $L$, каждая так, что нити образуют равносторонний треугольник (рисунок). Нить между шариками 1 и 3 пережигают. Пренебрегая гравитационным взаимодействием между шариками и силами трения, найдите максимальную скорость шарика 2.

К задаче 4

Решение. Когда нить пережгут, шарики 1 и 3 «захотят» удалиться друг от друга максимально. Это будет достигнуто, когда все три шарика будут расположены на одной прямой. При этом и скорости шариков будут максимальны. Составим уравнения по закону сохранения импульса и энергии и решим эту систему. Пусть $\upsilon_1$ - скорость центрального шарика массой $m$, скорость $\upsilon_2$ - скорости крайних шариков.

$$m\upsilon_1=4m\upsilon_2$$

$$\frac{m\upsilon_1^2}{2}+\frac{4m\upsilon_2^2}{2}=\Delta W_{el}$$

$$\Delta W_{el}=W_0-W_k$$

$$W_0=\frac{kq\cdot 2q}{l^2}\cdot 2+\frac{kq^2}{l^2}=\frac{5kq^2}{l^2}$$

$$W_k=\frac{kq\cdot 2q}{l^2}\cdot 2+\frac{kq^2}{(2l)^2}=\frac{4,25kq^2}{l^2}$$

$$\Delta W_{el}=\frac{0,75kq^2}{l^2}$$

Из закона сохранения импульса следует, что

$$\upsilon_1=4\upsilon_2$$

Подставляем все в ЗСЭ:

$$\frac{m\upsilon_1^2}{2}+\frac{m\upsilon_2^2}{2}=\frac{0,75kq^2}{l^2}$$

$$\frac{m\upsilon_1^2}{2}+\frac{m\upsilon_1^2}{8}=\frac{0,75kq^2}{l^2}$$

$$2,5 m\upsilon_1^2=\frac{0,75kq^2}{l^2}$$

$$\upsilon_1^2=\frac{6kq^2}{5ml^2}$$

$$\upsilon_1=\frac{q}{l}\sqrt{\frac{6k}{5m}}$$

$$\upsilon_2=\frac{q}{4l}\sqrt{\frac{6k}{5m}}$$

Ответ: $\upsilon_1=\frac{q}{l}\sqrt{\frac{6k}{5m}}$.

Задача 5.

Незаряженный проволочный каркас имеет форму пирамиды ($ABCD$ - квадрат, точка $O$ лежит над его серединой как показано на рисунке). Каркас поместили в однородное электрическое поле напряженностью $E$, направленное вдоль $AD$. При этом на ребре $DC$ индуцировался заряд $q_1$, а на ребре $OC$ - заряд $q_2$. Затем каркас развернули так что, поле стало направлено по диагонали квадрата $AC$. Найдите заряды, индуцированные на каждом ребре каркаса в этом случае.

К задаче 5

Решение. Так как пирамида симметрична, то сразу понятно, что заряд ребра $OD$ также $q_2$. Чтобы понять, какой заряд на ребрах $OA, OB$ и $AB$, развернем поле в противоположную сторону. В противоположно направленном поле на этих ребрах индуцировались бы заряды $q_2$, $q_2$ и $q_1$ соответственно. Если же встречные поля существовали бы одновременно, то заряды всех ребер были бы равны нулю. Отсюда вывод: в существующем поле заряды ребер $OA, OB$ и $AB$ равны соответственно $-q_2$, $-q_2$ и $-q_1$.

Первоначальное поле

Понятно, что заряд ребер $BC$ и $AD$ нулевой (если бы это было не так, то под воздействием поля этот заряд пробежал бы по ребру и все равно обнулился).

Направим поле по диагонали. При этом мы его разложим на две составляющие, действующие вдоль ребер основания. Эти составляющие, как показано на рисунке, будут равны $\frac{E}{\sqrt{2}}$.

Поле направлено вдоль АС

И мы свели, получается, задачу к предыдущей. Только поле слабее, поэтому и индуцированные заряды будут меньше (в $\sqrt{2}$ раз). Рассмотрим поля 1 и 2 по очереди и запишем в таблицу, какие заряды на каких ребрах будут индуцированы полями.

Заряды, индуцированные полями 1 и 2

Теперь найдем суммарный заряд на каждом ребре:

Суммарные заряды

Это ответ.

Задача 6.

2021 одинаковых точечных зарядов $q$ удерживают в вершинах плоского правильного 2021-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$. В некоторый момент времени один заряд освобождают. Когда этот заряд улетел на очень большое расстояние от остальных зарядов, он приобрел скорость $\upsilon$. Затем освобождают еще один (ближайший к отпущенному) заряд. Какую скорость будет иметь этот заряд, когда улетит на очень большое расстояние от остальных зарядов? Массы всех зарядов $m$.

Решение. Применим закон сохранения энергии. Первоначальная энергия улетающего заряда $W_{2020}$ – это его энергия взаимодействия со всеми оставшимися 2020 зарядами. А конечная его энергия – это кинетическая энергия $\frac{m\upsilon^2}{2}$.

$$W_{2020}=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

Сосед улетевшего заряда взаимодействует с 2019 зарядами. Его первоначальная энергия $W_{2019}$. Пусть он приобретает скорость $\upsilon’$, тогда конечная его энергия $\frac{m\upsilon’^2}{2}$.

$$W_{2019}=\frac{m\upsilon’^2}{2}$$

Свяжем энергии.

$$ W_{2020}= W_{2019}+\frac{kq^2}{a^2}$$

Где $a$ - расстояние между соседними зарядами. Как его найти? Так как зарядов много, то хорда $a$ практически равна дуге.

$$a=\frac{2\pi R}{2021}$$

Переписываем связь энергий и находим ответ:

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{m\upsilon’^2}{2}+\frac{kq^2}{a^2}$$

$$\upsilon^2=\upsilon’^2+\frac{2kq^2\cdot 2021^2}{m\cdot 4\pi^2 R^2}$$

$$\upsilon’=\sqrt{\upsilon^2-\frac{2kq^2\cdot 2021^2}{m\cdot 4\pi^2 R^2}}$$

Ответ: $\upsilon’=\sqrt{\upsilon^2-\frac{2kq^2\cdot 2021^2}{m\cdot 4\pi^2 R^2}}$.